Упр.8.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=e^(5x), x_0=0; 4) f(x)=4x-ln 4, x_0=1;
2) f(x)=2e^x-cos(x), x_0=0; 5) f(x)=ln (3x-5), x_0=2;
3) f(x)=3^(2x-3), x_0=2; 6) f(x)=log_2 (x+3), x_0=1.

Подробный ответ

$$f(x)=e^{5x}, \quad x_0=0.$$
$$f(0)=e^{0}=1,$$
$$f'(x)=5e^{5x}, \quad f'(0)=5.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=1+5(x-0)=1+5x.$$
$$f(x)=2e^x-\cos x, \quad x_0=0.$$
$$f(0)=2\cdot e^0-\cos 0=2-1=1,$$
$$f'(x)=2e^x+\sin x, \quad f'(0)=2.$$
Тогда
$$y=1+2(x-0)=1+2x.$$
$$f(x)=3^{2x-3}, \quad x_0=2.$$
$$f(2)=3^{2\cdot 2-3}=3^1=3,$$
$$f'(x)=3^{2x-3}\cdot 2\ln 3,$$
$$f'(2)=3\cdot 2\ln 3=6\ln 3.$$
Уравнение касательной:
$$y=3+6\ln 3\,(x-2).$$
$$f(x)=4x-\ln 4, \quad x_0=1.$$
$$f(1)=4-\ln 4,$$
$$f'(x)=4, \quad f'(1)=4.$$
Тогда
$$y=(4-\ln 4)+4(x-1)=4x-\ln 4.$$
$$f(x)=\ln(3x-5), \quad x_0=2.$$
$$f(2)=\ln(6-5)=\ln 1=0,$$
$$f'(x)=\frac{3}{3x-5}, \quad f'(2)=3.$$
Следовательно,
$$y=0+3(x-2)=3x-6.$$
$$f(x)=\log_2(x+3), \quad x_0=1.$$
$$f(1)=\log_2 4=2,$$
$$f'(x)=\frac{1}{(x+3)\ln 2}, \quad f'(1)=\frac{1}{4\ln 2}.$$
Уравнение касательной:
$$y=2+\frac{1}{4\ln 2}(x-1).$$