Упр.8.1 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите производную функции:
   1) $$y=4e^x$$;
   2) $$y=e^{5x}$$;
   3) $$y=x^3e^x$$;
   4) $$y=e^x\sin(x)$$;
   5) $$y=\frac{e^x}{x-2}$$;
   6) $$y=e^x+e^{-x}$$;
   7) $$y=5^x$$;
   8) $$y=2^{x^2}$$;
   9) $$y=7^{2x-3}$$;
   10) $$y=x\cdot 3^x$$;
   11) $$y=\frac{2^x-3}{2^x+1}$$;
   12) $$y=0{,}3^{\operatorname{tg}(x)}$$.

1. $$y=4e^x$$
   
   $$y’=4e^x.$$
2. $$y=e^{5x}$$
   
   По правилу производной сложной функции:
   $$y’=5e^{5x}.$$
3. $$y=x^3e^x$$
   
   По правилу произведения:
   $$y’=(x^3)’e^x+x^3(e^x)’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x).$$
4. $$y=e^x\sin x$$
   
   По правилу произведения:
   $$y’=(e^x)’\sin x+e^x(\sin x)’=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x).$$
5. $$y=\frac{e^x}{x-2}$$
   
   По правилу производной частного:
   $$y’=\frac{e^x(x-2)-e^x}{(x-2)^2}=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}.$$
6. $$y=e^x+e^{-x}$$
   
   $$y’=e^x-e^{-x}.$$
7. $$y=5^x$$
   
   $$y’=5^x\ln 5.$$
8. $$y=2^{x^2}$$
   
   По правилу производной сложной функции:
   $$y’=2^{x^2}\ln 2\cdot 2x=2x\cdot 2^{x^2}\ln 2.$$
9. $$y=7^{2x-3}$$
   
   $$y’=7^{2x-3}\ln 7\cdot 2=2\cdot 7^{2x-3}\ln 7.$$
10. $$y=x\cdot 3^x$$
    
    По правилу произведения:
    $$y’=(x)’\cdot 3^x+x\cdot (3^x)’=3^x+x\cdot 3^x\ln 3=3^x(1+x\ln 3).$$
11. $$y=\frac{2^x-3}{2^x+1}$$
    
    По правилу производной частного:
    $$y’=\frac{(2^x\ln 2)(2^x+1)-(2^x\ln 2)(2^x-3)}{(2^x+1)^2}$$
    $$=\frac{2^x\ln 2\bigl((2^x+1)-(2^x-3)\bigr)}{(2^x+1)^2} =\frac{4\cdot 2^x\ln 2}{(2^x+1)^2}.$$
12. $$y=0{,}3^{\tg x}$$
    
    По правилу производной сложной функции:
    $$y’=0{,}3^{\tg x}\ln 0{,}3\cdot (\tg x)’.$$
    Так как
    $$(\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},$$
    то
    $$y’=\frac{0{,}3^{\tg x}\ln 0{,}3}{\cos^2 x}.$$

Ответ

1. $$y’=4e^x$$
2. $$y’=5e^{5x}$$
3. $$y’=x^2e^x(3+x)$$
4. $$y’=e^x(\sin x+\cos x)$$
5. $$y’=\frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$$
6. $$y’=e^x-e^{-x}$$
7. $$y’=5^x\ln 5$$
8. $$y’=2x\cdot 2^{x^2}\ln 2$$
9. $$y’=2\cdot 7^{2x-3}\ln 7$$
10. $$y’=3^x(1+x\ln 3)$$
11. $$y’=\frac{4\cdot 2^x\ln 2}{(2^x+1)^2}$$
12. $$y’=\frac{0{,}3^{\tg x}\ln 0{,}3}{\cos^2 x}$$