Упр.7.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1. 1) $$\log_{\frac{1}{4}}(x+1)>-\frac{3}{2}$$;
   3) $$\log_{\frac{1}{7}}(3-x)>-1$$;
   2) $$\log_{\sqrt{3}}(12-x^2)>2$$;
   4) $$\log_{\frac{1}{3}}(2x-5)>\log_{\frac{1}{3}}(x+1)$$.

1. $$\log_{\frac14}(x+1) > -\frac32$$

   Так как основание $$\frac14<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$x+1 < \left(\frac14\right)^{-\frac32}=8.$$

   С учётом области определения $$x+1>0$$ получаем:

   $$0<x+1<8,$$

   $$-1<x<7.$$

   Наибольшее целое решение: $$6$$.

2. $$\log_{\sqrt3}(12-x^2) > 2$$

   Так как основание $$\sqrt3>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$12-x^2 > (\sqrt3)^2=3.$$

   Тогда

   $$x^2<9,$$

   $$-3<x<3.$$

   Наибольшее целое решение: $$2$$.

3. $$\log_{\frac17}(3-x) > -1$$

   Так как основание $$\frac17<1$$, знак неравенства меняется:

   $$3-x < \left(\frac17\right)^{-1}=7.$$

   С учётом области определения $$3-x>0$$ получаем:

   $$0<3-x<7,$$

   $$-4<-x<3,$$

   $$-3<x<4.$$

   Наибольшее целое решение: $$3$$.

4. $$\log_{\frac13}(2x-5) > \log_{\frac13}(x+1)$$

   Так как основание $$\frac13<1$$, функция убывает, поэтому

   $$2x-5 < x+1.$$

   Одновременно должны выполняться условия области определения:

   $$2x-5>0,\quad x+1>0.$$

   Отсюда

   $$x>\frac52,$$

   $$x<6.$$

   Значит, $$\frac52<x<6$$, и наибольшее целое решение равно $$5$$.

Ответ

1) $$6$$; 2) $$2$$; 3) $$3$$; 4) $$5$$.