Упр.7.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
   
   1) $$\log_{\frac{1}{4}}(x+1)>-\frac{3}{2}$$;
   
   3) $$\log_{\frac{1}{7}}(3-x)>-1$$;
   
   2) $$\log_{\sqrt{3}}(12-x^2)>2$$;
   
   4) $$\log_{\frac{1}{3}}(2x-5)>\log_{\frac{1}{3}}(x+1)$$.

1. $$\log_{\frac14}(x+1) > -\frac32$$

   Так как $$0<\frac14<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит

   $$x+1 < \left(\frac14\right)^{-\frac32}=8.$$

   Тогда

   $$x<7.$$

   Наибольшее целое решение: $$6.$$

2. $$\log_{\sqrt3}(12-x^2) > 2$$

   Так как $$\sqrt3>1,$$ получаем

   $$12-x^2 > (\sqrt3)^2=3.$$

   Отсюда

   $$x^2<9,\quad -3<x<3.$$

   Наибольшее целое решение: $$2.$$

3. $$\log_{\frac17}(3-x) > -1$$

   Так как $$0<\frac17<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$3-x < \left(\frac17\right)^{-1}=7.$$

   С учётом области определения $$3-x>0$$ получаем

   $$0<3-x<7,$$

   то есть

   $$-4<x<3.$$

   Наибольшее целое решение: $$2.$$

4. $$\log_{\frac13}(2x-5) > \log_{\frac13}(x+1)$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит

   $$2x-5 < x+1.$$

   С учётом области определения:

   $$2x-5>0,\quad x+1>0.$$

   Из неравенства получаем

   $$x<6,$$

   а из ОДЗ — $$x>2.5.$$

   Следовательно, $$2.5<x<6.$$

   Наибольшее целое решение: $$5.$$

Ответ

1) $$6$$; 2) $$2$$; 3) $$2$$; 4) $$5$$.