Упр.7.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) lg (2x+3) > lg (x-1);
2) log_5 (2x) < log_5 (x+1);
3) log_0,2 (2x-1) > log_0,2 (3x-4);
4) log_0,4 (x^2-3) < log_0,4 (x+3);
5) log_0,7 (x^2-2x-3)?log_0,7 (9-x);
6) log_(1/3) (x62+x+31)?log_(1/3) (10x+11).
$$\lg(2x+3)>\lg(x-1)$$
Так как основание логарифма $$10>1$$, то сравниваем аргументы:
$$2x+3>x-1 \Rightarrow x>-4.$$
Область определения:
$$2x+3>0,\quad x-1>0 \Rightarrow x>{-}\frac{3}{2},\quad x>1.$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x>1.$$
$$\log_5(2x)<\log_5(x+1)$$
Так как $$5>1$$, то:
$$2x<x+1 \Rightarrow x<1.$$
Область определения:
$$2x>0,\quad x+1>0 \Rightarrow x>0,\quad x>-1.$$
С учётом ОДЗ:
$$0<x<1.$$
$$\log_{0,2}(2x-1)>\log_{0,2}(3x-4)$$
Так как $$0<0,2<1$$, знак неравенства меняется:
$$2x-1<3x-4 \Rightarrow x>3.$$
Область определения:
$$2x-1>0,\quad 3x-4>0 \Rightarrow x>\frac12,\quad x>\frac43.$$
Итак,
$$x>3.$$
$$\log_{0,4}(x^2-3)<\log_{0,4}(x+3)$$
Так как $$0<0,4<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2-3>x+3 \Rightarrow x^2-x-6>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Тогда
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3.$$
Область определения:
$$x^2-3>0,\quad x+3>0.$$
Из этих условий и найденного неравенства получаем:
$$(-3;-2)\cup(3;+\infty).$$
$$\log_{0,7}(x^2-2x-3)\le \log_{0,7}(9-x)$$
Так как $$0<0,7<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2-2x-3\ge 9-x \Rightarrow x^2-x-12\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$
Тогда
$$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Область определения:
$$x^2-2x-3>0,\quad 9-x>0.$$
Из ОДЗ и неравенства получаем:
$$(-\infty;-3]\cup[4;9).$$
$$\log_{\frac13}(x^2+x+31)\le \log_{\frac13}(10x+11)$$
Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+x+31\ge 10x+11 \Rightarrow x^2-9x+20\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-9x+20=(x-4)(x-5).$$
Тогда
$$x\le 4 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Область определения:
$$10x+11>0 \Rightarrow x>-\frac{11}{10}.$$
Следовательно,
$$\left(-\frac{11}{10};4\right]\cup[5;+\infty).$$
Ответ
1) $$ (1;+\infty) $$; 2) $$ (0;1) $$; 3) $$ (3;+\infty) $$; 4) $$ (-3;-2)\cup(3;+\infty) $$; 5) $$ (-\infty;-3]\cup[4;9) $$; 6) $$ \left(-\frac{11}{10};4\right]\cup[5;+\infty) $$.
