Упр.7.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) log_2 (2x-3) < log_2 (x+1); 2) log_0,6 (3-2x) > log_0,6 (5x-2);
3) lg (x^2-2)?lg (4x+3);
4) log_0,1 (10-2x)?log_0,1 (x^2-x-2).

Подробный ответ

$$\log_2(2x-3)<\log_2(x+1)$$
Так как $$2>1,$$ то сравниваем аргументы:
$$2x-3<x+1,$$
$$x<4.$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad x>\frac{3}{2};$$
$$x+1>0,\quad x>-1.$$
Пересекаем условия:
$$x\in\left(\frac{3}{2};4\right).$$
$$\log_{0,6}(3-2x)>\log_{0,6}(5x-2)$$
Так как $$0<0,6<1,$$ знак неравенства при сравнении аргументов меняется:
$$3-2x<5x-2,$$
$$7x>5,$$
$$x>\frac{5}{7}.$$
Область определения:
$$3-2x>0,\quad x<\frac{3}{2};$$
$$5x-2>0,\quad x>\frac{2}{5}.$$
Пересекаем условия:
$$x\in\left(\frac{5}{7};\frac{3}{2}\right).$$
$$\lg(x^2-2)\ge \lg(4x+3)$$
Так как основание логарифма равно $$10>1,$$ получаем:
$$x^2-2\ge 4x+3,$$
$$x^2-4x-5\ge 0,$$
$$ (x+1)(x-5)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Область определения:
$$x^2-2>0,\quad 4x+3>0.$$
Из второго условия имеем $$x>-\frac{3}{4},$$ а из первого при найденных промежутках подходит только $$x\ge 5.$$
Следовательно,
$$x\in[5;+\infty).$$
$$\log_{0,1}(10-2x)\ge \log_{0,1}(x^2-x-2)$$
Так как $$0<0,1<1,$$ знак неравенства при сравнении аргументов меняется:
$$10-2x\le x^2-x-2,$$
$$x^2+x-12\ge 0,$$
$$ (x+4)(x-3)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$
Область определения:
$$10-2x>0,\quad x<5;$$
$$x^2-x-2>0.$$
Последнее неравенство даёт
$$ (x-2)(x+1)>0,$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Пересекаем с найденным решением:
$$x\in(-\infty;-4]\cup[3;5).$$