Упр.7.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\log_{\frac{1}{7}} x<-1$$; 3) $$\lg x<5$$; 5) $$\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)>-2$$;
   2) $$\log_4 x>2$$;
   4) $$\log_{\frac{1}{6}}x>-3$$;
   6) $$\log_9(5x+6)<2$$.

1. $$\log_{\frac17} x<-1$$
   
   Так как основание $$\frac17<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x>\left(\frac17\right)^{-1}=7.$$
   
   Ответ: $$\left(7;+\infty\right).$$
2. $$\log_4 x>2$$
   
   Так как основание $$4>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$x>4^2=16.$$
   
   Ответ: $$\left(16;+\infty\right).$$
3. $$\lg x<5$$
   
   Область определения: $$x>0$$. Тогда
   $$0<x<10^5.$$
   
   Ответ: $$\left(0;10^5\right).$$
4. $$\log_{\frac16} x>-3$$
   
   Так как основание $$\frac16<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x<\left(\frac16\right)^{-3}=216.$$
   
   С учётом ОДЗ $$x>0$$ получаем:
   $$0<x<216.$$
   
   Ответ: $$\left(0;216\right).$$
5. $$\log_{\frac13}(2x-3)\ge -2$$
   
   ОДЗ: $$2x-3>0$$.
   
   Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
   $$2x-3\le \left(\frac13\right)^{-2}=9.$$
   
   Тогда
   $$0<2x-3\le 9,$$
   $$3<2x\le 12,$$
   $$1{,}5<x\le 6.$$
   
   Ответ: $$\left(1{,}5;6\right].$$
6. $$\log_9(5x+6)\le 2$$
   
   ОДЗ: $$5x+6>0$$.
   
   Так как основание $$9>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$5x+6\le 9^2=81.$$
   
   Получаем систему:
   $$0<5x+6\le 81,$$
   $$-6<5x\le 75,$$
   $$-1{,}2<x\le 15.$$
   
   Ответ: $$\left(-1{,}2;15\right].$$

Ответ

1) $$\left(7;+\infty\right)$$; 2) $$\left(16;+\infty\right)$$; 3) $$\left(0;10^5\right)$$; 4) $$\left(0;216\right)$$; 5) $$\left(1{,}5;6\right]$$; 6) $$\left(-1{,}2;15\right]$$.