Упр.7.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

• 1) $$\log_{\frac{1}{7}} x < -1$$;
• 3) $$\lg x < 5$$;
• 5) $$\log_{\frac{1}{3}}(2x-3)\ ?\ -2$$;
• 2) $$\log_{4} x > 2$$;
• 4) $$\log_{\frac{1}{6}} x > -3$$;
• 6) $$\log_{9}(5x+6)\ ?\ 2$$.

1. $$\log_{\frac17} x<-1$$

   Так как основание $$\frac17<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

   $$x>\left(\frac17\right)^{-1}=7$$

   Ответ: $$\left(7;+\infty\right)$$

2. $$\log_4 x>2$$

   Так как основание $$4>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$x>4^2=16$$

   Ответ: $$\left(16;+\infty\right)$$

3. $$\lg x<5$$

   Переходим к показательной форме:

   $$0<x<10^5$$

   Ответ: $$\left(0;10^5\right)$$

4. $$\log_{\frac16} x>-3$$

   Так как основание $$\frac16<1$$, знак неравенства меняется:

   $$0<x<\left(\frac16\right)^{-3}=216$$

   Ответ: $$\left(0;216\right)$$

5. $$\log_{\frac13}(2x-3)\ge -2$$

   Сначала учтём область определения:

   $$2x-3>0$$

   Так как основание $$\frac13<1$$, при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

   $$0<2x-3\le \left(\frac13\right)^{-2}=9$$

   Решаем двойное неравенство:

   $$3<2x\le 12$$

   $$1{,}5<x\le 6$$

   Ответ: $$\left(1{,}5;6\right]$$

6. $$\log_9(5x+6)\le 2$$

   Сначала область определения:

   $$5x+6>0$$

   Так как основание $$9>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$0<5x+6\le 9^2=81$$

   $$-6<5x\le 75$$

   $$-1{,}2<x\le 15$$

   Ответ: $$\left(-1{,}2;15\right]$$