Упр.7.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Для каждого значения параметра $$a$$ решите неравенство $$(3^x-a)\cdot(x-2)<0$$.

Рассмотрим неравенство

$$\left(3^x-a\right)\sqrt{x-2}\le 0.$$

Область определения:

$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$

Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то произведение не положительно в двух случаях:

1. $$\sqrt{x-2}=0,$$ то есть $$x=2;$$
2. $$3^x-a\le 0,$$ то есть $$3^x\le a,$$ откуда $$x\le \log_3 a.$$

Но второе возможно только при $$a>0.$$

С учётом области определения получаем:

если $$a\le 9,$$ то условие $$x\le \log_3 a$$ не даёт решений при $$x\ge 2,$$ поэтому остаётся только $$x=2;$$

если $$a>9,$$ то $$\log_3 a>2,$$ и решения задаются промежутком
$$2\le x\le \log_3 a.$$

Ответ

$$\begin{cases} x=2, & a\le 9,\\ 2\le x\le \log_3 a, & a>9. \end{cases}$$