Упр.7.25 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 7.25. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции y=x/(x^2+1).

Подробный ответ

Найдём производную функции $$y=\frac{x}{x^2+1}.$$

По правилу производной частного:

$$ y’=\frac{(x^2+1)\cdot 1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}. $$

Знаменатель $$\left(x^2+1\right)^2>0$$ при всех $$x,$$ поэтому знак производной определяется числителем $$1-x^2.$$

Решим неравенство:

$$ 1-x^2>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2<1 \quad \Longleftrightarrow \quad -1<x<1. $$

Значит, функция возрастает на промежутке $$(-1;1).$$

При $$x<-1$$ и $$x>1$$ имеем $$1-x^2<0,$$ поэтому функция убывает на промежутках $$(-\infty;-1)$$ и $$ (1;+\infty).$$

Найдём экстремумы. В точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ производная равна нулю:

$$ y(-1)=\frac{-1}{(-1)^2+1}=-\frac12,\qquad y(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac12. $$

В точке $$x=-1$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. В точке $$x=1$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.