Упр.7.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 7.24. На графике функции y=x^3-2x^2 найдите точки, в которых касательная к графику параллельна прямой y=-x+11.

Найдём производную функции $$y=x^3-2x^2$$:

$$y’=3x^2-4x.$$

Касательная параллельна прямой $$y=-x+11$$, значит её угловой коэффициент равен $$-1$$. Тогда

$$3x^2-4x=-1.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$3x^2-4x+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4,$$

$$x=\frac{4\pm 2}{2\cdot 3}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac{1}{3}, \qquad x_2=1.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$y\left(\frac13\right)=\left(\frac13\right)^3-2\left(\frac13\right)^2=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}=-\frac{5}{27},$$

$$y(1)=1-2=-1.$$

Следовательно, искомые точки:

$$\left(\frac13,-\frac{5}{27}\right) \text{ и } (1,-1).$$

Ответ

$$\left(\frac13,-\frac{5}{27}\right),\ (1,-1).$$