Упр.7.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=(x-1)x^(1/3); 2) y=(x-1)/(x^2+1); 3) y=v(2-5x).

1. $$y=(x-1)x^{\frac13}$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=(x-1)’x^{\frac13}+(x-1)\left(x^{\frac13}\right)’$$

   $$y’=x^{\frac13}+(x-1)\cdot \frac13 x^{-\frac23}$$

   $$y’=x^{\frac13}+\frac{x-1}{3x^{\frac23}}$$

2. $$y=\frac{x-1}{x^2+1}$$

   Используем правило производной частного:

   $$y’=\frac{(x-1)'(x^2+1)-(x-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$

   $$y’=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$$

   $$y’=\frac{x^2+1-2x^2+2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1+2x-x^2}{(x^2+1)^2}$$

3. $$y=\sqrt{2-5x}$$

   Представим функцию в виде степени:

   $$y=(2-5x)^{\frac12}$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$y’=\frac12(2-5x)^{-\frac12}\cdot(-5)$$

   $$y’=-\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}$$

Ответ

$$1)\ y’=x^{\frac13}+\frac{x-1}{3x^{\frac23}};\quad 2)\ y’=\frac{1+2x-x^2}{(x^2+1)^2};\quad 3)\ y’=-\frac{5}{2\sqrt{2-5x}}.$$