Упр.7.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_(7/4) log_5 (x^2-2x-3)?0; 2) log_0,8 log_2 ((3x-1)/(2-x)) > 0.

1. $$\log_{\frac74}\log_5(x^2-2x-3)\le 0.$$

   Так как $$\frac74>1,$$ то

   $$\log_5(x^2-2x-3)\le 1.$$

   Отсюда

   $$x^2-2x-3\le 5,$$

   то есть

   $$x^2-2x-8\le 0.$$

   Решаем квадратное неравенство:

   $$x^2-2x-8=(x+2)(x-4)\le 0,$$

   значит,

   $$-2\le x\le 4.$$

   Теперь учтём область определения внешнего логарифма:

   $$\log_5(x^2-2x-3)>0.$$

   Так как $$5>1,$$ получаем

   $$x^2-2x-3>1,$$

   то есть

   $$x^2-2x-4>0.$$

   Найдём корни:

   $$x=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=1\pm\sqrt5.$$

   Тогда

   $$x<1-\sqrt5 \quad \text{или} \quad x>1+\sqrt5.$$

   Пересекаем с $$[-2;4]$$:

   $$x\in[-2;1-\sqrt5)\cup(1+\sqrt5;4].$$

2. $$\log_{0{,}8}\log_2\frac{3x-1}{2-x}>0.$$

   Так как $$0<0{,}8<1,$$ то

   $$0<\log_2\frac{3x-1}{2-x}<1.$$

   Из неравенства $$\log_2\frac{3x-1}{2-x}>0$$ получаем

   $$\frac{3x-1}{2-x}>1.$$

   Из неравенства $$\log_2\frac{3x-1}{2-x}<1$$ получаем

   $$\frac{3x-1}{2-x}<2.$$

   Решим систему:

   $$\frac{3x-1}{2-x}>1,$$

   $$\frac{3x-1}{2-x}<2.$$

   Первое неравенство:

   $$\frac{3x-1-(2-x)}{2-x}>0,$$

   $$\frac{4x-3}{2-x}>0.$$

   Второе неравенство:

   $$\frac{3x-1-2(2-x)}{2-x}<0,$$

   $$\frac{5x-5}{2-x}<0,$$

   $$\frac{x-1}{2-x}<0.$$

   Решая систему неравенств, получаем

   $$\frac34<x<1.$$

Ответ

1) $$[-2;1-\sqrt5)\cup(1+\sqrt5;4]$$; 2) $$\left(\frac34;1\right)$$.