Упр.7.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\log_{1{,}6}\log_{0{,}5}(x^2-x-6)>0$$;
3. $$\log_{\frac{1}{9}}\log_3\left(\frac{x}{x-1}\right)>0$$;
2. $$\log_{0{,}5}\log_4(2x^2+x-1)<1$$;
4. $$\log_{1{,}5}\log_3\left(\frac{3x-5}{x+1}\right)<0$$.

1. $$\log_{1,6}\log_{0,5}(x^2-x-6)\ge 0.$$
   Так как $$1,6>1,$$ то
   $$\log_{0,5}(x^2-x-6)\ge 0.$$
   Поскольку основание $$0,5<1,$$ получаем
   $$0<x^2-x-6\le 1.$$
   Решим систему:
   $$x^2-x-6>0,$$
   $$x^2-x-7\le 0.$$
   Тогда
   $$x\in(-\infty;-2)\cup(3;+\infty),$$
   $$x\in\left[\frac{1-\sqrt{29}}{2};\frac{1+\sqrt{29}}{2}\right].$$
   Пересечение даёт
   $$x\in\left[\frac{1-\sqrt{29}}{2};-2\right)\cup\left(3;\frac{1+\sqrt{29}}{2}\right].$$
2. $$\log_{0,5}\log_4(2x^2+x-1)<1.$$
   Так как $$0,5<1,$$ то
   $$\log_4(2x^2+x-1)>1.$$
   Тогда
   $$2x^2+x-1>4,$$
   $$2x^2+x-5>0.$$
   Найдём корни:
   $$D=1+40=41,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{41}}{4}.$$
   Следовательно,
   $$x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{41}}{4}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{41}}{4};+\infty\right).$$
3. $$\log_{1/9}\log_3\frac{x}{x-1}\ge 0.$$
   Так как $$\frac19<1,$$ то
   $$\log_3\frac{x}{x-1}\le 1.$$
   Отсюда
   $$\frac{x}{x-1}\le 3,$$
   $$\frac{x-3x+3}{x-1}\le 0,$$
   $$\frac{3-2x}{x-1}\le 0.$$
   Область определения:
   $$\frac{x}{x-1}>0.$$
   Решая систему, получаем
   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty),$$
   $$x\in\left(-\infty;\frac32\right]\cup(1;+\infty).$$
   Пересечение:
   $$x\in(1;+\infty).$$
4. $$\log_{1,5}\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 0.$$
   Так как $$1,5>1,$$ то
   $$\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 0.$$
   Тогда
   $$0<\frac{3x-5}{x+1}\le 1.$$
   Из неравенства
   $$\frac{3x-5}{x+1}\le 1$$
   получаем
   $$\frac{2x-6}{x+1}\le 0,$$
   откуда
   $$x\in(-1;3].$$
   Из условия
   $$\frac{3x-5}{x+1}>0$$
   имеем
   $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac53;+\infty\right).$$
   Пересечение:
   $$x\in\left(\frac53;3\right].$$

Ответ

1) $$\left[\frac{1-\sqrt{29}}{2};-2\right)\cup\left(3;\frac{1+\sqrt{29}}{2}\right]$$

2) $$\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{41}}{4}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{41}}{4};+\infty\right)$$

3) $$\left(1;+\infty\right)$$

4) $$\left(\frac53;3\right]$$