Упр.7.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\log_{1,6}\log_{0,5}(x^2-x-6)\ ?\ 0$$;
2. $$\log_{\frac{1}{9}}\log_3\left(\frac{x}{x-1}\right)\ ?\ 0$$;
3. $$\log_{0,5}\log_4(2x^2+x-1)<1$$;
4. $$\log_{1,5}\log_3\left(\frac{3x-5}{x+1}\right)\ ?\ 0$$.

1. $$\log_{1,6}\log_{0,5}(x^2-x-6)\ge 0.$$
   Так как $$1,6>1,$$ то
   $$\log_{0,5}(x^2-x-6)\ge 1.$$
   Поскольку $$0<0,5<1,$$ получаем
   $$x^2-x-6\le 0,5.$$
   Тогда
   $$x^2-x-6,5\le 0,$$
   $$D=1+26=27,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{27}}{2}.$$
   Значит,
   $$x\in\left[\frac{1-\sqrt{27}}{2};\frac{1+\sqrt{27}}{2}\right].$$

   Область определения:
   $$x^2-x-6>0,$$
   $$\left(x+2\right)\left(x-3\right)>0,$$
   $$x<-2 \text{ или } x>3.$$

   Пересекаем с найденным промежутком:
   $$x\in\left[\frac{1-\sqrt{27}}{2};-2\right)\cup\left(3;\frac{1+\sqrt{27}}{2}\right].$$

2. $$\log_{0,5}\log_4(2x^2+x-1)<1.$$
   Так как $$0<0,5<1,$$ то
   $$\log_4(2x^2+x-1)>0,5.$$
   Тогда
   $$2x^2+x-1>4^{0,5}=2,$$
   $$2x^2+x-3>0.$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4},$$
   откуда
   $$x_1=-1,5,\quad x_2=1.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;-1,5)\cup(1;+\infty).$$
3. $$\log_{\frac19}\log_3\frac{x}{x-1}\ge 0.$$
   Так как $$0<\frac19<1,$$ то
   $$\log_3\frac{x}{x-1}\le 1.$$
   Поскольку $$3>1,$$ получаем
   $$\frac{x}{x-1}\le 3,$$
   $$\frac{x-3(x-1)}{x-1}\le 0,$$
   $$\frac{3-2x}{x-1}\le 0.$$

   Область определения:
   $$\frac{x}{x-1}>0.$$
   Решаем систему:
   $$\frac{3-2x}{x-1}\le 0,\qquad \frac{x}{x-1}>0.$$
   Отсюда
   $$x\in\left[\frac32;+\infty\right).$$

4. $$\log_{1,5}\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 0.$$
   Так как $$1,5>1,$$ то
   $$\log_3\frac{3x-5}{x+1}\le 1.$$
   Тогда
   $$\frac{3x-5}{x+1}\le 3,$$
   $$\frac{3x-5-(3x+3)}{x+1}\le 0,$$
   $$\frac{-8}{x+1}\le 0,$$
   $$x>-1.$$

   Область определения:
   $$\log_3\frac{3x-5}{x+1}>0,$$
   $$\frac{3x-5}{x+1}>1,$$
   $$\frac{3x-5-(x+1)}{x+1}>0,$$
   $$\frac{2x-6}{x+1}>0,$$
   $$\frac{x-3}{x+1}>0.$$
   Отсюда
   $$x<-1 \text{ или } x>3.$$
   С учётом условия $$x>-1$$ получаем
   $$x>3.$$

Ответ

1) $$\left[\frac{1-\sqrt{27}}{2};-2\right)\cup\left(3;\frac{1+\sqrt{27}}{2}\right)$$;
2) $$(-\infty;-1,5)\cup(1;+\infty)$$;
3) $$\left[\frac32;+\infty\right)$$;
4) $$\left(3;+\infty\right)$$.