Упр.7.2 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: 1) $$\lg x < \lg 4$$; 2) $$\log_{\frac{5}{6}} x > \log_{\frac{5}{6}} \frac{6}{7}$$; 3) $$\log_{12}(x-8) > \log_{12}3$$; 4) $$\log_{16}(4x-6) < \log_{16}10$$; 5) $$\log_{\frac{8}{11}}(2-x) < \log_{\frac{8}{11}}2$$; 6) $$\log_{0,9}(2x+1) > \log_{0,9}5$$.

1. Так как основание $$10>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$\lg x<\lg 4 \;\Rightarrow\; x<4.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$x\in(0;4).$$

2. Основание $$\frac56<1$$, значит при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

   $$\log_{\frac56}x>\log_{\frac56}\frac67 \;\Rightarrow\; x<\frac67.$$

   С учётом $$x>0$$:

   $$x\in\left(0;\frac67\right).$$

3. Так как $$12>1$$, знак неравенства сохраняется:

   $$\log_{12}(x-8)>\log_{12}3 \;\Rightarrow\; x-8>3.$$

   Тогда

   $$x>11.$$

   С учётом области определения $$x-8>0$$, получаем:

   $$x\in(11;+\infty).$$

4. Основание $$16>1$$, поэтому знак неравенства сохраняется:

   $$\log_{16}(4x-6)<\log_{16}10 \;\Rightarrow\; 4x-6<10.$$

   Кроме того,

   $$4x-6>0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 4x<16,\\ 4x>6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<4,\\ x>\frac32 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac32;4\right).$$

5. Основание $$\frac{8}{11}<1$$, значит знак неравенства меняется:

   $$\log_{\frac{8}{11}}(2-x)<\log_{\frac{8}{11}}2 \;\Rightarrow\; 2-x>2.$$

   Тогда

   $$x<0.$$

   С учётом области определения $$2-x>0$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;0).$$

6. Основание $$0{,}9<1$$, поэтому знак неравенства меняется:

   $$\log_{0{,}9}(2x+1)>\log_{0{,}9}5 \;\Rightarrow\; 2x+1<5.$$

   Кроме того,

   $$2x+1>0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 2x<4,\\ 2x>-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<2,\\ x>-\frac12 \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac12;2\right).$$

Ответ

1) $$\left(0;4\right)$$; 2) $$\left(0;\frac67\right)$$; 3) $$\left(11;+\infty\right)$$; 4) $$\left(\frac32;4\right)$$; 5) $$(-\infty;0)$$; 6) $$\left(-\frac12;2\right).$$