Упр.7.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (log_0,5 x)^2?9; 3) 2(log_4 x)^2-log_4 x-1 < 0; 2) lg^2 x-2lg x-3?0; 4) (log_0,2 x)^2-log_0,2 x-2?0.

1. $$\left(\log_{0,5} x\right)^2 \ge 9$$
   $$\left(\log_{0,5} x-3\right)\left(\log_{0,5} x+3\right)\ge 0$$
   Так как основание $$0,5<1,$$ то при переходе к аргументу знак неравенства меняется: $$\log_{0,5} x\le -3 \quad \text{или} \quad \log_{0,5} x\ge 3.$$ Тогда $$x\ge (0,5)^{-3}=8 \quad \text{или} \quad 0
2. $$\lg^2 x-2\lg x-3\ge 0$$
   Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда
   $$t^2-2t-3\ge 0$$
   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$t\le -1 \quad \text{или} \quad t\ge 3.$$
   Возвращаясь к $$x,$$ получаем
   $$\lg x\le -1 \quad \text{или} \quad \lg x\ge 3,$$
   значит
   $$0
3. $$2(\log_4 x)^2-\log_4 x-1<0$$ Обозначим $$t=\log_4 x.$$ Тогда $$2t^2-t-1<0.$$ Найдём корни: $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$ $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$ Получаем $$t_1=-\frac12,\quad t_2=1.$$ Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то $$-\frac12
4. $$\left(\log_{0,2} x\right)^2-\log_{0,2} x-2\le 0$$
   Обозначим $$t=\log_{0,2} x.$$ Тогда
   $$t^2-t-2\le 0$$
   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)\le 0.$$
   Отсюда
   $$-1\le t\le 2.$$
   Так как основание $$0,2<1,$$ получаем $$0,2^2\le x\le 0,2^{-1}.$$ Следовательно, $$0,04\le x\le 5.$$

Ответ

1) $$\left(0;\frac18\right]\cup [8;+\infty)$$; 2) $$\left(0;0,1\right]\cup [1000;+\infty)$$; 3) $$\left(\frac12;4\right)$$; 4) $$[0,04;5]$$.