Упр.7.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\log_{\frac{2}{3}}(6-2x)<\log_{\frac{2}{3}}(x^2-2x-3)$$;
2. $$\log_{0,1}(x^2-3x-4)\ ?\ \log_{0,1}(x+1)$$;
3. $$2\log_2(x+5)\ ?\ 3+\log_2(11+x)$$;
4. $$\lg(2x^2-9x+4)\ ?\ 2\lg(x+2)$$.

1. $$\log_{\frac23}(6-2x)<\log_{\frac23}(x^2-2x-3)$$
   Так как основание $$\frac23<1$$, то знак неравенства меняется:
   $$6-2x>x^2-2x-3$$
   $$x^2-9<0$$
   $$-3<x<3$$
   
   Область определения:
   $$x^2-2x-3>0$$
   $$\left(x+1\right)\left(x-3\right)>0$$
   $$x<-1 \text{ или } x>3$$
   
   Пересекаем с найденным промежутком:
   $$(-3;3)\cap\left((-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\right)=(-3;-1)$$
2. $$\log_{0,1}(x^2-3x-4)\ge \log_{0,1}(x+1)$$
   
   Так как основание $$0,1<1$$, то знак неравенства меняется:
   $$x^2-3x-4\le x+1$$
   $$x^2-4x-5\le 0$$
   $$\left(x+1\right)\left(x-5\right)\le 0$$
   $$-1\le x\le 5$$
   
   Область определения:
   $$x^2-3x-4>0$$
   $$\left(x+1\right)\left(x-4\right)>0$$
   $$x<-1 \text{ или } x>4$$
   $$x+1>0,\quad x>-1$$
   
   Пересечение:
   $$[-1;5]\cap(-1;+\infty)\cap\left((-\infty;-1)\cup(4;+\infty)\right)=(4;5]$$
3. $$2\log_2(x+5)\le 3+\log_2(11+x)$$
   
   $$\log_2(x+5)^2\le \log_2\bigl(8(11+x)\bigr)$$
   $$x^2+10x+25\le 88+8x$$
   $$x^2+2x-63\le 0$$
   $$\left(x+9\right)\left(x-7\right)\le 0$$
   $$-9\le x\le 7$$
   
   Область определения:
   $$x+5>0,\quad x>-5$$
   $$11+x>0,\quad x>-11$$
   
   Пересечение:
   $$[-9;7]\cap(-5;+\infty)=(-5;7]$$
4. $$\lg(2x^2-9x+4)\le 2\lg(x+2)$$
   
   $$\lg(2x^2-9x+4)\le \lg(x+2)^2$$
   $$2x^2-9x+4\le x^2+4x+4$$
   $$x^2-13x\le 0$$
   $$x(x-13)\le 0$$
   $$0\le x\le 13$$
   
   Область определения:
   $$2x^2-9x+4>0$$
   $$\left(2x-1\right)\left(x-4\right)>0$$
   $$x<\frac12 \text{ или } x>4$$
   $$x+2>0,\quad x>-2$$
   
   Пересечение:
   $$[0;13]\cap\left((-\infty;\tfrac12)\cup(4;+\infty)\right)\cap(-2;+\infty)=[0;\tfrac12)\cup(4;13]$$

Ответ

1) $$(-3;-1)$$; 2) $$(4;5]$$; 3) $$(-5;7]$$; 4) $$[0;\tfrac12)\cup(4;13]$$.