Упр.7.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_0,3 (x^2+x-12)?log_0,3 (6x-6);
2) lg (x^2-x)?lg (3x-3);
3) log_0,8 (1-x^2) > log_0,8 (x^2+5x-2);
4) 2log_2 (2x+7)?5+log_2 (x+2);
5) log_3 (x^2+2x-3)?log_3 (x+9);
6) log_(1/7) (2x^2+3x+1)?2log_(1/7) (1-x).

1. Так как основание $$0{,}3<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому

   $$ \log_{0{,}3}(x^2+x-12)\ge \log_{0{,}3}(6x-6) \iff x^2+x-12\le 6x-6. $$

   Решим неравенство:

   $$ x^2-5x-6\le 0 $$

   $$ (x+1)(x-6)\le 0 \Rightarrow x\in[-1;6]. $$

   ОДЗ:

   $$ x^2+x-12>0,\qquad 6x-6>0. $$

   $$ (x+4)(x-3)>0 \Rightarrow x<-4 \text{ или } x>3, $$

   $$ x>1. $$

   Пересечение с $$[-1;6]$$ даёт:

   $$ x\in(3;6]. $$

2. Так как $$\lg$$ — возрастающая функция, получаем:

   $$ \lg(x^2-x)\le \lg(3x-3)\iff x^2-x\le 3x-3. $$

   $$ x^2-4x+3\le 0 $$

   $$ (x-1)(x-3)\le 0 \Rightarrow x\in[1;3]. $$

   ОДЗ:

   $$ x^2-x>0,\qquad 3x-3>0. $$

   $$ x(x-1)>0 \Rightarrow x<0 \text{ или } x>1, $$

   $$ x>1. $$

   Итак,

   $$ x\in(1;3]. $$

3. Так как $$0{,}8<1,$$ логарифмическая функция убывает:

   $$ \log_{0{,}8}(1-x^2)>\log_{0{,}8}(x^2+5x-2) \iff 1-x^2<x^2+5x-2. $$

   $$ 2x^2+5x-3>0 $$

   $$ (2x-1)(x+3)>0 \Rightarrow x<-3 \text{ или } x>\frac12. $$

   ОДЗ:

   $$ 1-x^2>0,\qquad x^2+5x-2>0. $$

   $$ -1<x<1. $$

   Пересечение даёт:

   $$ x\in\left(\frac12;1\right). $$

4. Преобразуем левую часть:

   $$ 2\log_2(2x+7)=\log_2(2x+7)^2. $$

   Тогда

   $$ \log_2(2x+7)^2\ge 5+\log_2(x+2) $$

   $$ \log_2(2x+7)^2\ge \log_2\bigl(32(x+2)\bigr). $$

   Так как основание $$2>1,$$ получаем:

   $$ (2x+7)^2\ge 32(x+2). $$

   $$ 4x^2-4x-15\ge 0 $$

   $$ (2x-5)(2x+3)\ge 0 \Rightarrow x\le -\frac32 \text{ или } x\ge \frac52. $$

   ОДЗ:

   $$ 2x+7>0,\qquad x+2>0, $$

   то есть $$x>-2.$$

   Итак,

   $$ x\in\left(-2;-\frac32\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right). $$

5. Так как $$\log_3$$ — возрастающая функция, имеем:

   $$ \log_3(x^2+2x-3)\le \log_3(x+9) \iff x^2+2x-3\le x+9. $$

   $$ x^2+x-12\le 0 $$

   $$ (x+4)(x-3)\le 0 \Rightarrow x\in[-4;3]. $$

   ОДЗ:

   $$ x^2+2x-3>0,\qquad x+9>0. $$

   $$ (x+3)(x-1)>0 \Rightarrow x<-3 \text{ или } x>1. $$

   Пересечение:

   $$ x\in[-4;-3)\cup(1;3]. $$

6. Преобразуем правую часть:

   $$ 2\log_{1/7}(1-x)=\log_{1/7}(1-x)^2. $$

   Так как основание $$\frac17<1,$$ функция убывает, поэтому

   $$ \log_{1/7}(2x^2+3x+1)\ge \log_{1/7}(1-x)^2 \iff 2x^2+3x+1\le (1-x)^2. $$

   $$ 2x^2+3x+1\le x^2-2x+1 $$

   $$ x^2+5x\le 0 $$

   $$ x(x+5)\le 0 \Rightarrow x\in[-5;0]. $$

   ОДЗ:

   $$ 2x^2+3x+1>0,\qquad 1-x>0. $$

   $$ (2x+1)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>-\frac12, $$

   $$ x<1. $$

   Пересечение с $$[-5;0]$$ даёт:

   $$ x\in[-5;-1)\cup\left(-\frac12;0\right]. $$

Ответ

1) $$x\in(3;6]$$; 2) $$x\in(1;3]$$; 3) $$x\in\left(\frac12;1\right)$$; 4) $$x\in\left(-2;-\frac32\right]\cup\left[\frac52;+\infty\right)$$; 5) $$x\in[-4;-3)\cup(1;3]$$; 6) $$x\in[-5;-1)\cup\left(-\frac12;0\right]$$.