Упр.7.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$\log_{\frac{1}{3}}(x^2-5x+7)>0$$;
4) $$\log_{0,3}(x^2-2x+1)?0$$;
2) $$\log_{9}(x^2-6x+8)?0,5$$;
5) $$\log_{4}\left(\frac{3x-1}{x-1}\right)?1$$;
3) $$\log_{0,5}(x^2+3x)?-2$$;
6) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2x-1}{3x+1}\right)>1$$.
$$\log_{\frac13}(x^2-5x+7)>0$$
Так как $$0<\frac13<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит
$$0<x^2-5x+7<1.$$
Из неравенства $$x^2-5x+7<1$$ получаем
$$x^2-5x+6<0$$
$$(x-2)(x-3)<0,$$
откуда $$2<x<3.$$
При этом $$x^2-5x+7>0$$ для всех $$x\in\mathbb R,$$ так как
$$D=25-28=-3<0.$$
Следовательно, $$x\in(2;3).$$
$$\log_9(x^2-6x+8)\le 0{,}5$$
Так как $$9^{0{,}5}=3,$$ то
$$0<x^2-6x+8\le 3.$$
Решим неравенство $$x^2-6x+8\le 3$$:
$$x^2-6x+5\le 0$$
$$(x-1)(x-5)\le 0,$$
откуда $$1\le x\le 5.$$
Область определения:
$$x^2-6x+8>0$$
$$(x-2)(x-4)>0,$$
значит, $$x<2$$ или $$x>4.$$
Пересекаем с найденным промежутком:
$$x\in[1;2)\cup(4;5].$$
$$\log_{0{,}5}(x^2+3x)\ge -2$$
Так как $$0<0{,}5<1,$$ то
$$0<x^2+3x\le (0{,}5)^{-2}=4.$$
Решим неравенство $$x^2+3x\le 4$$:
$$x^2+3x-4\le 0$$
$$(x+4)(x-1)\le 0,$$
откуда $$-4\le x\le 1.$$
Область определения:
$$x^2+3x>0$$
$$x(x+3)>0,$$
значит, $$x<-3$$ или $$x>0.$$
Пересечение даёт
$$x\in[-4;-3)\cup(0;1].$$
$$\log_{0{,}3}(x^2-2x+1)\ge 0$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то
$$0<x^2-2x+1\le 1.$$
Имеем
$$x^2-2x+1\le 1$$
$$x^2-2x\le 0$$
$$x(x-2)\le 0,$$
откуда $$0\le x\le 2.$$
Область определения:
$$x^2-2x+1>0$$
$$(x-1)^2>0,$$
значит, $$x\ne 1.$$
Следовательно, $$x\in[0;1)\cup(1;2].$$
$$\log_4\frac{3x-1}{x-1}\le 1$$
Так как $$4^1=4,$$ то
$$\frac{3x-1}{x-1}\le 4.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{3x-1-4(x-1)}{x-1}\le 0$$
$$\frac{3-x}{x-1}\le 0$$
$$\frac{x-3}{x-1}\ge 0.$$
Отсюда $$x<1$$ или $$x\ge 3.$$
Область определения:
$$\frac{3x-1}{x-1}>0.$$
Критические точки: $$x=\frac13$$ и $$x=1.$$ Тогда
$$x<\frac13 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Пересечение даёт
$$x\in\left(-\infty;\frac13\right)\cup[3;+\infty).$$
$$\log_{\frac12}\frac{2x-1}{3x+1}>1$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ то
$$0<\frac{2x-1}{3x+1}<\left(\frac12\right)^1=\frac12.$$
Решим неравенство
$$\frac{2x-1}{3x+1}<\frac12.$$
Приведём к одной дроби:
$$\frac{2(2x-1)-(3x+1)}{2(3x+1)}<0$$
$$\frac{x-3}{3x+1}<0.$$
Отсюда $$-\frac13<x<3.$$
Область определения:
$$\frac{2x-1}{3x+1}>0.$$
Это выполняется при $$x<-\frac13$$ или $$x>\frac12.$$
Пересечение с $$-\frac13<x<3$$ даёт
$$x\in\left(\frac12;3\right).$$
Ответ
1) $$(2;3)$$; 2) $$[1;2)\cup(4;5]$$; 3) $$[-4;-3)\cup(0;1]$$; 4) $$[0;1)\cup(1;2]$$; 5) $$\left(-\infty;\frac13\right)\cup[3;+\infty)$$; 6) $$\left(\frac12;3\right)$$.
