Упр.7.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) log_8 (x^2-4x+3)?1; 5) log_2 ((4x-5)/(4x+7)) > 0;
2) log_0,5 (x^2+x) > -1; 6) lg ((x^2-1)/(x-2)^2) > 0;
3) log_0,7 (x^2+10x+25) > 0; 7) log_3 ((2x+5)/(x+1))?1;
4) log_2 (x62-3x)?2; 8) log_4 ((3x-1)/x)?0,5.
$$\log_8(x^2-4x+3)\le 1$$
Так как $$8>1$$, получаем:
$$x^2-4x+3\le 8$$
$$x^2-4x-5\le 0$$
$$ (x+1)(x-5)\le 0,\quad -1\le x\le 5 $$
Область определения:
$$x^2-4x+3>0$$
$$ (x-1)(x-3)>0,\quad x<1 \text{ или } x>3 $$
Пересечение множеств:
$$[-1;1)\cup(3;5]$$
$$\log_{0,5}(x^2+x)>-1$$
Так как $$0<0,5<1$$, знак неравенства меняется:
$$x^2+x<2$$
$$x^2+x-2<0$$
$$ (x+2)(x-1)<0,\quad -2<x<1 $$
Область определения:
$$x^2+x>0$$
$$x(x+1)>0,\quad x<-1 \text{ или } x>0$$
Пересечение:
$$(-2;-1)\cup(0;1)$$
$$\log_{0,7}(x^2+10x+25)>0$$
Так как $$0<0,7<1$$, получаем:
$$x^2+10x+25<1$$
$$x^2+10x+24<0$$
$$ (x+6)(x+4)<0,\quad -6<x<-4 $$
Область определения:
$$x^2+10x+25>0$$
$$ (x+5)^2>0,\quad x\ne -5 $$
Пересечение:
$$(-6;-5)\cup(-5;-4)$$
$$\log_2(x^2-3x)\le 2$$
Так как $$2>1$$, имеем:
$$x^2-3x\le 4$$
$$x^2-3x-4\le 0$$
$$ (x+1)(x-4)\le 0,\quad -1\le x\le 4 $$
Область определения:
$$x^2-3x>0$$
$$x(x-3)>0,\quad x<0 \text{ или } x>3$$
Пересечение:
$$[-1;0)\cup(3;4]$$
$$\log_2\frac{4x-5}{4x+7}>0$$
Так как $$2>1$$, то:
$$\frac{4x-5}{4x+7}>1$$
$$\frac{(4x-5)-(4x+7)}{4x+7}>0$$
$$\frac{-12}{4x+7}>0$$
Отсюда:
$$4x+7<0,\quad x<-\frac{7}{4}$$
$$\lg\frac{x^2-1}{(x-2)^2}>0$$
Так как основание $$10>1$$, получаем:
$$\frac{x^2-1}{(x-2)^2}>1$$
$$\frac{x^2-1-(x^2-4x+4)}{(x-2)^2}>0$$
$$\frac{4x-5}{(x-2)^2}>0$$
Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2$$, то:
$$4x-5>0,\quad x>\frac54$$
С учётом ОДЗ $$x\ne 2$$:
$$\left(\frac54;2\right)\cup(2;+\infty)$$
$$\log_3\frac{2x+5}{x+1}\le 1$$
Так как $$3>1$$, имеем:
$$\frac{2x+5}{x+1}\le 3$$
$$\frac{2x+5-(3x+3)}{x+1}\le 0$$
$$\frac{2-x}{x+1}\le 0$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=2$$.
Решение:
$$(-\infty;-1)\cup[2;+\infty)$$
$$\log_4\frac{3x-1}{x}\le 0,5$$
Так как $$0,5=\frac12$$, то:
$$\frac{3x-1}{x}\le 4^{1/2}=2$$
$$\frac{3x-1}{x}\le 2$$
$$\frac{3x-1-2x}{x}\le 0$$
$$\frac{x-1}{x}\le 0$$
Область определения:
$$\frac{3x-1}{x}>0$$
$$x<0 \text{ или } x>\frac13$$
Пересечение с решением неравенства:
$$\left(\frac13;1\right]$$
Ответ
1) $$[-1;1)\cup(3;5]$$; 2) $$(-2;-1)\cup(0;1)$$; 3) $$(-6;-5)\cup(-5;-4)$$; 4) $$[-1;0)\cup(3;4]$$; 5) $$(-\infty;-\frac74)$$; 6) $$\left(\frac54;2\right)\cup(2;+\infty)$$; 7) $$(-\infty;-1)\cup[2;+\infty)$$; 8) $$\left(\frac13;1\right]$$.
