Упр.7.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите множество решений неравенства:

1. $$\log_8(x^2-4x+3)\ ?\ 1$$;
2. $$\log_{0,5}(x^2+x)>-1$$;
3. $$\log_{0,7}(x^2+10x+25)>0$$;
4. $$\log_2(x^2-3x)\ ?\ 2$$;
5. $$\log_2\left(\frac{4x-5}{4x+7}\right)>0$$;
6. $$\lg\left(\frac{x^2-1}{(x-2)^2}\right)>0$$;
7. $$\log_3\left(\frac{2x+5}{x+1}\right)\ ?\ 1$$;
8. $$\log_4\left(\frac{3x-1}{x}\right)\ ?\ 0,5$$.

1. $$\log_8(x^2-4x+3)\le 1$$

   Так как $$8>1$$, получаем:

   $$x^2-4x+3\le 8$$

   $$x^2-4x-5\le 0$$

   $$(x+1)(x-5)\le 0,\quad -1\le x\le 5$$

   Область определения:

   $$x^2-4x+3>0$$

   $$(x-1)(x-3)>0,\quad x<1 \text{ или } x>3$$

   Пересечение множеств:

   $$[-1;1)\cup(3;5]$$

2. $$\log_{0,5}(x^2+x)>-1$$

   Так как $$0<0,5<1$$, знак неравенства меняется:

   $$x^2+x<2$$

   $$x^2+x-2<0$$

   $$(x+2)(x-1)<0,\quad -2<x<1$$

   Область определения:

   $$x^2+x>0$$

   $$x(x+1)>0,\quad x<-1 \text{ или } x>0$$

   Пересечение:

   $$(-2;-1)\cup(0;1)$$

3. $$\log_{0,7}(x^2+10x+25)>0$$

   Так как $$0<0,7<1$$, получаем:

   $$x^2+10x+25<1$$

   $$x^2+10x+24<0$$

   $$(x+6)(x+4)<0,\quad -6<x<-4$$

   Область определения:

   $$x^2+10x+25>0$$

   $$(x+5)^2>0,\quad x\ne -5$$

   Пересечение:

   $$(-6;-5)\cup(-5;-4)$$

4. $$\log_2(x^2-3x)\le 2$$

   Так как $$2>1$$, имеем:

   $$x^2-3x\le 4$$

   $$x^2-3x-4\le 0$$

   $$(x+1)(x-4)\le 0,\quad -1\le x\le 4$$

   Область определения:

   $$x^2-3x>0$$

   $$x(x-3)>0,\quad x<0 \text{ или } x>3$$

   Пересечение:

   $$[-1;0)\cup(3;4]$$

5. $$\log_2\frac{4x-5}{4x+7}>0$$

   Так как $$2>1$$, то:

   $$\frac{4x-5}{4x+7}>1$$

   $$\frac{(4x-5)-(4x+7)}{4x+7}>0$$

   $$\frac{-12}{4x+7}>0$$

   Отсюда:

   $$4x+7<0,\quad x<-\frac{7}{4}$$

6. $$\lg\frac{x^2-1}{(x-2)^2}>0$$

   Так как основание $$10>1$$, получаем:

   $$\frac{x^2-1}{(x-2)^2}>1$$

   $$\frac{x^2-1-(x^2-4x+4)}{(x-2)^2}>0$$

   $$\frac{4x-5}{(x-2)^2}>0$$

   Так как $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2$$, то:

   $$4x-5>0,\quad x>\frac54$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 2$$:

   $$\left(\frac54;2\right)\cup(2;+\infty)$$

7. $$\log_3\frac{2x+5}{x+1}\le 1$$

   Так как $$3>1$$, имеем:

   $$\frac{2x+5}{x+1}\le 3$$

   $$\frac{2x+5-(3x+3)}{x+1}\le 0$$

   $$\frac{2-x}{x+1}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=2$$.

   Решение:

   $$(-\infty;-1)\cup[2;+\infty)$$

8. $$\log_4\frac{3x-1}{x}\le 0,5$$

   Так как $$0,5=\frac12$$, то:

   $$\frac{3x-1}{x}\le 4^{1/2}=2$$

   $$\frac{3x-1}{x}\le 2$$

   $$\frac{3x-1-2x}{x}\le 0$$

   $$\frac{x-1}{x}\le 0$$

   Область определения:

   $$\frac{3x-1}{x}>0$$

   $$x<0 \text{ или } x>\frac13$$

   Пересечение с решением неравенства:

   $$\left(\frac13;1\right]$$

Ответ

1) $$[-1;1)\cup(3;5]$$; 2) $$(-2;-1)\cup(0;1)$$; 3) $$(-6;-5)\cup(-5;-4)$$; 4) $$[-1;0)\cup(3;4]$$; 5) $$(-\infty;-\frac74)$$; 6) $$\left(\frac54;2\right)\cup(2;+\infty)$$; 7) $$(-\infty;-1)\cup[2;+\infty)$$; 8) $$\left(\frac13;1\right]$$.