Упр.7.10 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) log_(1/6) (x+2)?0; 3) log_0,3 (4x-3)?log_0,3 (x+3);
2) log_(1/2) (6-x) > -2; 4) log_(1/3) (x^2-2x+1)?-1.

Подробный ответ

$$\log_{\frac16}(x+2)\le 0$$
Так как $$0<\frac16<1,$$ знак неравенства для аргумента меняется:
$$x+2\ge 1,$$
$$x\ge -1.$$
Наименьшее целое решение: $$-1.$$
$$\log_{\frac12}(6-x)>-2$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:
$$0<6-x<\left(\frac12\right)^{-2}=4.$$
Решаем систему:
$$6-x>0 \Rightarrow x<6,$$
$$6-x<4 \Rightarrow -x<-2 \Rightarrow x>2.$$
Получаем $$2<x<6.$$
Наименьшее целое решение: $$3.$$
$$\log_{0{,}3}(4x-3)\ge \log_{0{,}3}(x+3)$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства меняется:
$$4x-3\le x+3.$$
Кроме того, должны выполняться условия области определения:
$$4x-3>0,\quad x+3>0.$$
Из неравенства:
$$3x\le 6 \Rightarrow x\le 2.$$
Из ОДЗ:
$$x>\frac34,\quad x>-3.$$
Итак, $$\frac34<x\le 2.$$
Наименьшее целое решение: $$1.$$
$$\log_{\frac13}(x^2-2x+1)\ge -1$$
Так как $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:
$$0<x^2-2x+1\le \left(\frac13\right)^{-1}=3.$$
Получаем:
$$0<(x-1)^2\le 3.$$
Из условия $$ (x-1)^2\le 3 $$ имеем:
$$x^2-2x-2\le 0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2-2x-2=0$$:
$$D=4+8=12,$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt3.$$
Тогда
$$1-\sqrt3\le x\le 1+\sqrt3,$$
и нужно исключить $$x=1,$$ так как аргумент логарифма не может быть равен нулю.
Наименьшее целое решение: $$0.$$