Упр.6.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\log_6(6^{x+1}-30)=x$$;
   2) $$\log_5(6-5^x)=1-x$$.

1. $$\log_6(6^{x+1}-30)=x$$

   По определению логарифма:

   $$6^{x+1}-30=6^x$$

   $$6\cdot 6^x-30=6^x$$

   $$5\cdot 6^x=30$$

   $$6^x=6$$

   $$x=1$$

2. $$\log_5(6-5^x)=1-x$$

   По определению логарифма:

   $$6-5^x=5^{1-x}$$

   Так как $$5^{1-x}=\dfrac{5}{5^x}$$, получаем:

   $$6-5^x=\frac{5}{5^x}$$

   Умножим на $$5^x$$:

   $$6\cdot 5^x-5^{2x}=5$$

   $$5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$$

   Обозначим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и

   $$t^2-6t+5=0$$

   $$(t-1)(t-5)=0$$

   $$t=1 \text{ или } t=5$$

   Возвращаемся к $$5^x$$:

   $$5^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$5^x=5 \Rightarrow x=1$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=0,\ 1$$.