Упр.6.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_2 (3^(5x-3)+1)=2; 3) log_2 (2^x+7)=3-x;
2) log_3 (3^(x-1)+6)=x; 4) log_6 (6^(-x)-5)=x+1.

1. $$\log_2(3^{5x-3}+1)=2$$

   Тогда

   $$3^{5x-3}+1=2^2=4,$$

   $$3^{5x-3}=3,$$

   $$5x-3=1,$$

   $$x=\frac45=0{,}8.$$

2. $$\log_3(3^{x-1}+6)=x$$

   Тогда

   $$3^{x-1}+6=3^x,$$

   $$\frac{3^x}{3}+6=3^x,$$

   $$3^x-\frac{3^x}{3}=6,$$

   $$\frac23\cdot 3^x=6,$$

   $$3^x=9,$$

   $$x=2.$$

3. $$\log_2(2^x+7)=3-x$$

   Тогда

   $$2^x+7=2^{3-x}=\frac{8}{2^x}.$$

   Умножим на $$2^x$$:

   $$2^{2x}+7\cdot 2^x-8=0.$$

   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

   $$t^2+7t-8=0.$$

   $$D=7^2+4\cdot 8=81,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}.$$

   $$t_1=-8 \not> 0,\quad t_2=1.$$

   Значит, $$2^x=1,$$ откуда $$x=0.$$

4. $$\log_6(6^{-x}-5)=x+1$$

   Тогда

   $$6^{-x}-5=6^{x+1}=6\cdot 6^x.$$

   Обозначим $$t=6^x$$, тогда $$t>0$$ и $$6^{-x}=\frac1t.$$ Получаем:

   $$\frac1t-5=6t.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$1-5t=6t^2,$$

   $$6t^2+5t-1=0.$$

   $$D=5^2+4\cdot 6=49,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{12}.$$

   $$t_1=-1 \not> 0,\quad t_2=\frac16.$$

   Значит, $$6^x=\frac16,$$ откуда $$x=-1.$$

Ответ

1) $$0{,}8$$; 2) $$2$$; 3) $$0$$; 4) $$-1$$.