Упр.6.52 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) поскольку при x=1/2 выполняются равенства (1/16)^x=(1/16)^(1/2)=v(1/16)=1/4 и log_(1/16) x=log_(1/16) (1/2)=log_2^(-4) 2^(-1)=1/4, то число x=1/2 — корень данного уравнения;
2) построив графики функций y=(1/16)^x и y=log_(1/16) x (рис. 6.3), учащийся говорит, что уравнение не имеет других корней, кроме x=1/2.
Прав ли учащийся, сделав такой вывод?

Подробный ответ

Проверим, действительно ли $$x=\frac12$$ является корнем:

$$ \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac12}=\frac{1}{4}, \qquad \log_{\frac{1}{16}}\frac12=\frac14. $$

Значит, $$x=\frac12$$ — корень уравнения.

Но это не единственный корень. Проверим, например, $$x=\frac14$$:

$$ \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac14}=\frac{1}{2}, \qquad \log_{\frac{1}{16}}\frac14=\frac12. $$

Следовательно, $$x=\frac14$$ тоже является корнем уравнения.

Значит, вывод о единственности решения неверен.