Упр.6.52 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. 6.52. Учащийся решает уравнение $$\left(\frac{1}{16}\right)^x=\log_{\frac{1}{16}}x$$. Он утверждает, что уравнение не имеет других корней, кроме $$x=\frac{1}{2}$$. Прав ли учащийся, сделав такой вывод?

Проверим, действительно ли $$x=\frac12$$ является корнем:

$$\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac12}=\frac{1}{4}, \qquad \log_{\frac{1}{16}}\frac12=\frac14.$$

Значит, $$x=\frac12$$ — корень уравнения.

Но это не единственный корень. Проверим, например, $$x=\frac14$$:

$$\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac14}=\frac{1}{2}, \qquad \log_{\frac{1}{16}}\frac14=\frac12.$$

Следовательно, $$x=\frac14$$ тоже является корнем уравнения.

Значит, вывод о единственности решения неверен.

Ответ

Нет, уравнение имеет не только корень $$x=\frac12$$, но и, например, корень $$x=\frac14$$.