Упр.6.48 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\left(4x-x^2-3\right)\log_2\left(\cos^2(\pi x)+1\right)=1$$.

Рассмотрим произведение

$$\left(4x-x^2-3\right)\log_2(\cos^2 \pi x+1)=1.$$

Обозначим

$$f(x)=4x-x^2-3,\qquad g(x)=\log_2(\cos^2 \pi x+1).$$

Тогда

$$f(x)\,g(x)=1.$$

Найдём наибольшие возможные значения множителей.

Для функции $$f(x)=4x-x^2-3$$ имеем

$$f(x)=-(x-2)^2+1,$$

значит, $$f(x)\le 1,$$ и равенство достигается при $$x=2.$$

Для функции

$$g(x)=\log_2(\cos^2 \pi x+1)$$

так как $$0\le \cos^2 \pi x\le 1,$$ то

$$1\le \cos^2 \pi x+1\le 2,$$

откуда

$$0\le g(x)\le 1.$$

Следовательно, произведение $$f(x)g(x)$$ не превосходит $$1$$. Чтобы оно было равно $$1,$$ нужно одновременно

$$f(x)=1,\qquad g(x)=1.$$

Из $$f(x)=1$$ получаем

$$-(x-2)^2+1=1,$$

$$x=2.$$

Проверим второе условие:

$$g(2)=\log_2(\cos^2 2\pi+1)=\log_2(1+1)=\log_2 2=1.$$

Значит, $$x=2$$ — решение уравнения.

Ответ

$$2$$