Упр.6.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$(x+a)\log_3(2x-5)=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$(x+a)\log_3(2x-5)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x+a=0 \quad \text{или} \quad \log_3(2x-5)=0.$$

1) Из первого уравнения получаем

$$x=-a.$$

2) Из второго уравнения:

$$\log_3(2x-5)=0 \Rightarrow 2x-5=1 \Rightarrow x=3.$$

Но логарифм определён только при

$$2x-5>0 \Rightarrow x>\frac52.$$

Значит, корень $$x=3$$ всегда подходит.

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы корень $$x=-a$$ либо не существовал как дополнительный, либо совпадал с $$x=3$$.

Если $$-a=3$$, то

$$a=-3,$$

и оба множителя обращаются в нуль при одном и том же значении $$x=3$$.

Если же $$-a\neq 3$$, то второй корень должен не принадлежать области определения, то есть

$$-a\le \frac52.$$

Отсюда

$$a\ge -\frac52.$$

При таких значениях параметра корень $$x=-a$$ не даёт второго допустимого решения, и остаётся только $$x=3$$.

Ответ

$$a=-3 \quad \text{или} \quad a\ge -\frac52.$$