Упр.6.44 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$(x-a)\log_2(3x-7)=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$(x-a)\log_2(3x-7)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$x-a=0,$$ значит $$x=a.$$

2) $$\log_2(3x-7)=0,$$ тогда

$$3x-7=1,$$

$$3x=8,$$

$$x=\frac{8}{3}.$$

Но логарифм определён только при

$$3x-7>0,$$

то есть

$$x>\frac{7}{3}.$$

Следовательно, корень $$x=\frac{8}{3}$$ всегда подходит.

Чтобы уравнение имело единственный корень, второй корень $$x=a$$ не должен давать новый, отличный от $$\frac{8}{3}$$, допустимый корень. Значит, либо

$$a=\frac{8}{3},$$

либо $$a$$ не принадлежит области допустимых значений, то есть

$$a\le \frac{7}{3}.$$

Ответ

$$a=\frac{8}{3} \text{ или } a\le \frac{7}{3}.$$