Упр.6.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$2\lg^2(2x-1)=\lg^2(2x+1)-\lg(2x-1)\cdot\lg(2x+1)$$.

Обозначим

$$a=\lg(2x-1), \qquad b=\lg(2x+1).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2a^2=b^2-ab.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$b^2-ab-2a^2=0$$

$$b^2-ab-2a^2=(b-2a)(b+a)=0.$$

Значит, возможны два случая:

1. $$b-2a=0,$$

   $$\lg(2x+1)=2\lg(2x-1)=\lg(2x-1)^2,$$

   $$2x+1=(2x-1)^2,$$

   $$2x+1=4x^2-4x+1,$$

   $$4x^2-6x=0,$$

   $$2x(2x-3)=0,$$

   $$x=0 \text{ или } x=\frac{3}{2}.$$

2. $$b+a=0,$$

   $$\lg(2x+1)+\lg(2x-1)=0,$$

   $$\lg\bigl((2x+1)(2x-1)\bigr)=0,$$

   $$4x^2-1=1,$$

   $$4x^2=2,$$

   $$x^2=\frac12,$$

   $$x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Теперь учтём область определения:

$$2x-1>0,\qquad 2x+1>0,$$

откуда

$$x>\frac12.$$

Из найденных корней этому условию удовлетворяют только

$$x=\frac{3}{2}, \qquad x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt2}{2};\ \frac{3}{2}.$$