Упр.6.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Из второго уравнения:
   $$\lg(2y-3x)=\lg(4-4x+y)\Rightarrow 2y-3x=4-4x+y,$$
   откуда
   $$y=4-x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$9^x-4\cdot 3^{5-(4-x)}+27=0,$$
   $$9^x-4\cdot 3^{x+1}+27=0,$$
   $$3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0.$$
   Обозначим $$t=3^x$$. Тогда
   $$t^2-12t+27=0,$$
   $$D=144-108=36,$$
   $$t_1=3,\quad t_2=9.$$
   Значит,
   $$3^x=3 \Rightarrow x=1,\qquad 3^x=9 \Rightarrow x=2.$$
   Тогда
   $$y=4-x \Rightarrow y=3 \text{ или } y=2.$$
   Проверка области определения:
   $$2y-3x>0.$$
   Пара $$$(1;3)$$$ подходит, а $$$(2;2)$$$ не подходит.

2. Из второго уравнения:
   $$\log_3 x+\log_3 y=3 \Rightarrow \log_3(xy)=3,$$
   $$xy=27.$$
   Тогда $$x=\dfrac{27}{y}$$. Подставим в первое уравнение:
   $$\left(\dfrac{27}{y}\right)^{\log_3 y}+y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}=18.$$
   Используем свойства степеней и логарифмов:
   $$\left(\dfrac{27}{y}\right)^{\log_3 y}=y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}.$$
   Поэтому
   $$2\cdot y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}=18,$$
   $$y^{\log_3\left(\frac{27}{y}\right)}=9.$$
   Возьмём логарифм по основанию 3:
   $$\log_3 y\cdot \log_3\left(\frac{27}{y}\right)=2.$$
   Пусть $$u=\log_3 y$$. Тогда
   $$u(3-u)=2,$$
   $$u^2-3u+2=0,$$
   $$u_1=1,\quad u_2=2.$$
   Следовательно,
   $$y_1=3,\quad y_2=9,$$
   $$x_1=9,\quad x_2=3.$$

3. Из второго уравнения:
   $$\log_4 x-\log_4 y=1 \Rightarrow \log_4\frac{x}{y}=1,$$
   $$\frac{x}{y}=4,$$
   $$x=4y.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^{\log_8 y}+y^{\log_8 x}=4,$$
   $$y^{\log_8(4y)}+y^{\log_8(4y)}=4,$$
   $$2y^{\log_8(4y)}=4,$$
   $$y^{\log_8(4y)}=2.$$
   Возьмём логарифм по основанию 8:
   $$\log_8(4y)\cdot \log_8 y=\frac13.$$
   Пусть $$t=\log_8 y$$. Тогда
   $$\log_8(4y)=\log_8 4+\log_8 y=\frac23+t,$$
   и получаем
   $$t\left(t+\frac23\right)=\frac13,$$
   $$3t^2+2t-1=0.$$
   Отсюда
   $$t_1=-1,\quad t_2=\frac13.$$
   Значит,
   $$y_1=8^{-1}=\frac18,\quad y_2=8^{1/3}=2,$$
   $$x_1=4y_1=\frac12,\quad x_2=4y_2=8.$$

4. Из второго уравнения:
   $$xy=27 \Rightarrow x=\frac{27}{y}.$$
   Тогда первое уравнение примет вид
   $$\log_y\frac{27}{y}+\log_{\frac{27}{y}}y=\frac52.$$
   Обозначим
   $$a=\log_y\frac{27}{y}.$$
   Тогда
   $$\log_{\frac{27}{y}}y=\frac1a,$$
   и получаем
   $$a+\frac1a=\frac52.$$
   Умножим на $$a$$:
   $$2a^2-5a+2=0,$$
   $$a_1=\frac12,\quad a_2=2.$$
   Если $$a=\frac12$$, то
   $$\log_y\frac{27}{y}=\frac12 \Rightarrow \frac{27}{y}=\sqrt{y},$$
   $$y^{3/2}=27,\quad y=9,\quad x=3.$$
   Если $$a=2$$, то
   $$\log_y\frac{27}{y}=2 \Rightarrow \frac{27}{y}=y^2,$$
   $$y^3=27,\quad y=3,\quad x=9.$$

5. Из первого уравнения:
   $$\log_3(x+2y)+\log_{1/3}(x-2y)=1.$$
   Так как
   $$\log_{1/3}(x-2y)=-\log_3(x-2y),$$
   то
   $$\log_3\frac{x+2y}{x-2y}=1,$$
   $$\frac{x+2y}{x-2y}=3.$$
   Тогда
   $$x+2y=3x-6y,$$
   $$2x=8y,$$
   $$x=4y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2+y^2=4+\frac12 y,$$
   $$16y^2+y^2=4+\frac12 y,$$
   $$17y^2-\frac12 y-4=0,$$
   $$34y^2-y-8=0.$$
   Решая квадратное уравнение, получаем
   $$y=\frac12 \text{ или } y=-\frac{8}{17}.$$
   По области определения нужно
   $$x+2y>0,\quad x-2y>0,$$
   значит подходит только $$y=\frac12$$. Тогда
   $$x=4y=2.$$

6. Из второго уравнения:
   $$xy=20 \Rightarrow y=\frac{20}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$x^{\lg\left(\frac{20}{x}\right)}=2.$$
   Возьмём десятичный логарифм:
   $$\lg x\cdot \lg\left(\frac{20}{x}\right)=\lg 2.$$
   Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
   $$t(\lg 20-t)=\lg 2.$$
   Так как $$\lg 20=\lg 2+1,$$ получаем
   $$t^2-(\lg 2+1)t+\lg 2=0.$$
   Отсюда
   $$t_1=1,\quad t_2=\lg 2.$$
   Значит,
   $$x_1=10,\quad x_2=2,$$
   $$y_1=2,\quad y_2=10.$$

Ответ

1) $$(1;3)$$;
2) $$(3;9),\ (9;3)$$;
3) $$\left(\frac12;\frac18\right),\ (8;2)$$;
4) $$(3;9),\ (9;3)$$;
5) $$(2;\frac12)$$;
6) $$(2;10),\ (10;2)$$.