Упр.6.3 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\log_{?}(x+1)=\log_{?}(4x-5)$$; 3) $$\lg(x^2+2)=\lg(3x+6)$$. 2) $$\log_{5}(3x-5)=\log_{5}(x-3)$$.

1. Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны их аргументы:

   $$x+1=4x-5$$

   $$3x=6$$

   $$x=2$$

   Проверим область определения:

   $$x+1>0,\quad 4x-5>0$$

   При $$x=2$$ оба условия выполняются.

2. Приравняем аргументы логарифмов:

   $$3x-5=x-3$$

   $$2x=2$$

   $$x=1$$

   Проверим область определения:

   $$3x-5>0,\quad x-3>0$$

   Получаем $$x>\frac{5}{3}$$ и $$x>3$$, значит $$x=1$$ не подходит.

3. Приравняем аргументы десятичных логарифмов:

   $$x^2+2=3x+6$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=4$$

   Проверка области определения:

   $$x^2+2>0,\quad 3x+6>0$$

   При $$x=-1$$ и $$x=4$$ оба аргумента положительны, значит оба корня подходят.

Ответ

1) $$2$$; 2) корней нет; 3) $$-1,\ 4$$.