Упр.6.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\log_x(9x^2)\cdot(\log_3 x)^2=4$$; 2) $$5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2$$; 3) $$\frac{2-4\log_{12}2}{\log_{12}(x+2)}-1=\frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}$$; 4) $$\log_{x+1}(x^3-9x+8)\cdot\log_{x-1}(x+1)=3$$.

1. $$\log_x(9x^2)\cdot (\log_3 x)^2=4$$

   Преобразуем логарифм:

   $$\log_x(9x^2)=\frac{\log_3(9x^2)}{\log_3 x}=\frac{2+\log_3 x^2}{\log_3 x}= \frac{2+2\log_3 x}{\log_3 x}.$$

   Тогда

   $$\frac{2+2\log_3 x}{\log_3 x}\cdot (\log_3 x)^2=4,$$

   $$2(\log_3 x)^2+2\log_3 x-4=0,$$

   $$(\log_3 x)^2+\log_3 x-2=0.$$

   Обозначим $$t=\log_3 x$$. Тогда

   $$t^2+t-2=0,$$

   $$(t-1)(t+2)=0.$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=-2$$, значит

   $$x=3$$ или $$x=3^{-2}=\frac{1}{9}.$$

2. $$5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда

   $$\log_{\frac{x}{9}}x=\frac{\log_3 x}{\log_3 x-\log_3 9}=\frac{t}{t-2},$$

   $$\log_{\frac{9}{x}}x^3=\frac{3t}{2-t},$$

   $$\log_{9x^2}x^2=\frac{2t}{2+2t}=\frac{t}{1+t}.$$

   Подставим:

   $$5\cdot \frac{t}{t-2}+\frac{3t}{2-t}+8\cdot \frac{t}{1+t}=2.$$

   Так как $$\frac{3t}{2-t}=-\frac{3t}{t-2},$$ получаем

   $$\frac{2t}{t-2}+\frac{8t}{1+t}=2.$$

   Умножим на $$(t-2)(t+1)$$:

   $$2t(t+1)+8t(t-2)=2(t-2)(t+1),$$

   $$2t^2+2t+8t^2-16t=2t^2-2t-4,$$

   $$8t^2-12t+4=0,$$

   $$2t^2-3t+1=0,$$

   $$(2t-1)(t-1)=0.$$

   Отсюда $$t=\frac12$$ или $$t=1$$, значит

   $$x=\sqrt{3}$$ или $$x=3.$$

3. $$\frac{2-4\log_{12}2}{\log_{12}(x+2)}-1=\frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}$$

   Так как $$4\log_{12}2=\log_{12}2^4=\log_{12}16,$$ то

   $$2-4\log_{12}2=\log_{12}144-\log_{12}16=\log_{12}9.$$

   Тогда

   $$\frac{\log_{12}9}{\log_{12}(x+2)}-1=\frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}.$$

   По формуле перехода к новому основанию:

   $$\frac{\log_{12}9}{\log_{12}(x+2)}=\log_{x+2}9,\qquad \frac{\log_6(8-x)}{\log_6(x+2)}=\log_{x+2}(8-x).$$

   Получаем

   $$\log_{x+2}9-1=\log_{x+2}(8-x).$$

   Так как $$1=\log_{x+2}(x+2),$$ то

   $$\log_{x+2}\frac{9}{x+2}=\log_{x+2}(8-x).$$

   Следовательно,

   $$\frac{9}{x+2}=8-x.$$

   Решаем:

   $$9=(8-x)(x+2),$$

   $$9=16+6x-x^2,$$

   $$x^2-6x-7=0,$$

   $$(x-7)(x+1)=0.$$

   С учётом ОДЗ: $$x+2>0,\ x+2\ne 1,\ 8-x>0,$$ получаем только

   $$x=7.$$

4. $$\log_{x+1}(x^3-9x+8)\cdot \log_{x-1}(x+1)=3$$

   Преобразуем:

   $$\log_{x+1}(x^3-9x+8)=3\log_{x+1}(x-1),$$

   поэтому

   $$\log_{x-1}(x^3-9x+8)=3.$$

   Тогда

   $$x^3-9x+8=(x-1)^3.$$

   Раскроем скобки:

   $$x^3-9x+8=x^3-3x^2+3x-1,$$

   $$3x^2-12x+9=0,$$

   $$x^2-4x+3=0,$$

   $$(x-1)(x-3)=0.$$

   С учётом ОДЗ: $$x-1>0,\ x+1>0,\ x\ne 2,$$ получаем

   $$x=3.$$

Ответ

1) $$x=\frac{1}{9},\ 3$$; 2) $$x=\sqrt{3},\ 3$$; 3) $$x=7$$; 4) $$x=3$$.