Упр.6.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3lg^2 x^2-lg x-1=0;
2) log_3 x^2·log_3 (x/27)+4=0;
3) log_7 (7x)·log_7 (x/7)=log_7 x^2-1;
4) lg^2 (10x)+lg (10x)=6+3lg x;
5) (log_6 (36x))^2+log_6 (x^2/216)=8;
6) log_5 (log_2 x)+log_5 (log_2 x^3-14)=1.

1. $$3\lg^2 x^2-\lg x-1=0$$
   
   Так как $$\lg x^2=2\lg x,$$ получаем:
   $$12\lg^2 x-\lg x-1=0.$$
   Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда
   $$ 12t^2-t-1=0. $$
   $$ D=1+48=49. $$
   $$ t_1=\frac{1-7}{24}=-\frac14,\qquad t_2=\frac{1+7}{24}=\frac13. $$
   Значит,
   $$ x_1=10^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{10}},\qquad x_2=10^{1/3}=\sqrt[3]{10}. $$
2. $$\log_3 x^2\cdot \log_3\frac{x}{27}+4=0$$
   
   Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда
   $$ \log_3 x^2=2t,\qquad \log_3\frac{x}{27}=t-3. $$
   Получаем:
   $$ 2t(t-3)+4=0, $$
   $$ 2t^2-6t+4=0, $$
   $$ t^2-3t+2=0. $$
   $$ (t-1)(t-2)=0. $$
   Отсюда
   $$ t_1=1,\qquad t_2=2. $$
   Тогда
   $$ x_1=3,\qquad x_2=9. $$
3. $$\log_7(7x)\cdot \log_7\frac{x}{7}=\log_7 x^2-1$$
   
   Пусть $$t=\log_7 x.$$ Тогда
   $$ \log_7(7x)=1+t,\qquad \log_7\frac{x}{7}=t-1,\qquad \log_7 x^2=2t. $$
   Получаем:
   $$ (1+t)(t-1)=2t-1. $$
   $$ t^2-1=2t-1, $$
   $$ t^2-2t=0, $$
   $$ t(t-2)=0. $$
   Значит,
   $$ t_1=0,\qquad t_2=2. $$
   Тогда
   $$ x_1=1,\qquad x_2=49. $$
4. $$\lg^2(10x)+\lg(10x)=6+3\lg x$$
   
   Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда
   $$ \lg(10x)=1+t. $$
   Получаем:
   $$ (1+t)^2+(1+t)=6+3t. $$
   $$ t^2+2t+1+1+t=6+3t, $$
   $$ t^2-4=0. $$
   $$ t=\pm 2. $$
   Тогда
   $$ x_1=10^{-2}=0{,}01,\qquad x_2=10^2=100. $$
5. $$\left(\log_6(36x)\right)^2+\log_6\frac{x^2}{216}=8$$
   
   Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда
   $$ \log_6(36x)=2+t,\qquad \log_6\frac{x^2}{216}=2t-3. $$
   Получаем:
   $$ (2+t)^2+(2t-3)=8, $$
   $$ t^2+6t-7=0. $$
   $$ D=64. $$
   $$ t_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-6+8}{2}=1. $$
   Тогда
   $$ x_1=6^{-7},\qquad x_2=6. $$
6. $$\log_5(\log_2 x)+\log_5(\log_2 x^3-14)=1$$
   
   Объединим логарифмы:
   $$ \log_5\Bigl(\log_2 x\cdot(\log_2 x^3-14)\Bigr)=1. $$
   Так как $$\log_2 x^3=3\log_2 x,$$ то
   $$ \log_2 x\cdot(3\log_2 x-14)=5. $$
   Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда
   $$ 3t^2-14t-5=0. $$
   $$ D=256. $$
   $$ t_1=\frac{14-16}{6}=-\frac13,\qquad t_2=\frac{14+16}{6}=5. $$
   Проверим область определения:
   $$ t>0,\qquad 3t-14>0. $$
   Подходит только $$t=5.$$ Тогда
   $$ x=2^5=32. $$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sqrt[4]{10}},\ \sqrt[3]{10}$$;
2) $$3,\ 9$$;
3) $$1,\ 49$$;
4) $$0{,}01,\ 100$$;
5) $$6^{-7},\ 6$$;
6) $$32$$.