Упр.6.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1) $$\left(\log_3 x^3\right)^2+4\log_3 x-5=0$$;
5) $$\lg^2(100x)+2\lg x=20$$;
2) $$\lg(10x^2)\cdot\lg x=1$$;
6) $$\left(\log_5(5x)\right)^2+\log_5\left(\frac{x}{25}\right)=3$$;
3) $$\log_4 x^2\cdot\log_4\left(\frac{16}{x}\right)=2$$;
7) $$\lg\lg x+\lg\left(\lg x^2-1\right)=0$$;
4) $$\log_2(4x)\cdot\log_2(0{,}25x)=5$$;
8) $$2\lg(\lg x)=\lg(2\lg x+8)$$.

1. $$\left(\log_3 x^3\right)^2+4\log_3 x-5=0$$
   
   $$\log_3 x^3=3\log_3 x$$
   
   Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
   $$9t^2+4t-5=0.$$
   
   $$D=4^2-4\cdot 9\cdot(-5)=16+180=196,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{-4\pm 14}{18}.$$
   
   $$t_1=-1,\quad t_2=\frac59.$$
   
   Тогда
   $$x_1=3^{-1}=\frac13,\quad x_2=3^{5/9}.$$
2. $$\lg(10x^2)\cdot \lg x=1$$
   
   $$\lg(10x^2)=1+2\lg x.$$
   
   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
   $$(1+2t)t=1,$$
   $$2t^2+t-1=0.$$
   
   $$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$
   
   $$t_1=-1,\quad t_2=\frac12.$$
   
   Тогда
   $$x_1=10^{-1}=0{,}1,\quad x_2=10^{1/2}=\sqrt{10}.$$
3. $$\log_4 x^2\cdot \log_4\frac{16}{x}=2$$
   
   $$\log_4 x^2=2\log_4 x,\qquad \log_4\frac{16}{x}=2-\log_4 x.$$
   
   Пусть $$t=\log_4 x$$. Тогда
   $$2t(2-t)=2,$$
   $$4t-2t^2=2,$$
   $$t^2-2t+1=0,$$
   $$(t-1)^2=0.$$
   
   $$t=1,\quad x=4^1=4.$$
4. $$\log_2(4x)\cdot \log_2(0{,}25x)=5$$
   
   $$\log_2(4x)=\log_2 x+2,\qquad \log_2(0{,}25x)=\log_2 x-2.$$
   
   Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда
   $$(t+2)(t-2)=5,$$
   $$t^2-4=5,$$
   $$t^2=9,$$
   $$t=\pm 3.$$
   
   Тогда
   $$x_1=2^{-3}=\frac18,\quad x_2=2^3=8.$$
5. $$\lg^2(100x)+2\lg x=20$$
   
   $$\lg(100x)=2+\lg x.$$
   
   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
   $$(2+t)^2+2t=20,$$
   $$t^2+6t-16=0.$$
   
   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=36+64=100,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}.$$
   
   $$t_1=-8,\quad t_2=2.$$
   
   Тогда
   $$x_1=10^{-8},\quad x_2=10^2=100.$$
6. $$\left(\log_5(5x)\right)^2+\log_5\frac{x}{25}=3$$
   
   $$\log_5(5x)=1+\log_5 x,\qquad \log_5\frac{x}{25}=\log_5 x-2.$$
   
   Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда
   $$(1+t)^2+t-2=3,$$
   $$t^2+3t-4=0.$$
   
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$
   
   $$t_1=-4,\quad t_2=1.$$
   
   Тогда
   $$x_1=5^{-4}=\frac{1}{625},\quad x_2=5^1=5.$$
7. $$\lg(\lg x)+\lg(\lg x^2-1)=0$$
   
   $$\lg(\lg x)+\lg(2\lg x-1)=0,$$
   
   $$\lg\bigl(\lg x(2\lg x-1)\bigr)=\lg 1.$$
   
   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
   $$t(2t-1)=1,$$
   $$2t^2-t-1=0.$$
   
   $$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}.$$
   
   $$t_1=-\frac12,\quad t_2=1.$$
   
   Проверим ОДЗ:
   $$\lg x>0,\qquad 2\lg x-1>0.$$
   
   Значит,
   $$\lg x>\frac12.$$
   
   Из найденных корней подходит только $$t=1$$, поэтому
   $$x=10.$$
8. $$2\lg(\lg x)=\lg(2\lg x+8)$$
   
   $$\lg\bigl((\lg x)^2\bigr)=\lg(2\lg x+8).$$
   
   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
   $$t^2=2t+8,$$
   $$t^2-2t-8=0.$$
   
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}.$$
   
   $$t_1=-2,\quad t_2=4.$$
   
   Проверим ОДЗ:
   $$\lg x>0,\qquad 2\lg x+8>0.$$
   
   Значит, $$\lg x>0$$, и подходит только $$t=4$$.
   Тогда
   $$x=10^4=10000.$$

Ответ

1) $$\frac13,\ 3^{5/9}$$; 2) $$0{,}1,\ \sqrt{10}$$; 3) $$4$$; 4) $$\frac18,\ 8$$; 5) $$10^{-8},\ 100$$; 6) $$\frac{1}{625},\ 5$$; 7) $$10$$; 8) $$10000$$.