Упр.6.21 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2-6x+5)(3x-1)^2?0; 3) (x+7)v(x+x^2-20) > 0;
2) (x^2-x-2)(x^2-4x+3)?0; 4) (x-1)/(x+1) < x.

1. $$\left(x^2-6x+5\right)\left(3x-1\right)^2\le 0$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$

   Тогда

   $$\left(x-1\right)\left(x-5\right)\left(3x-1\right)^2\le 0$$

   Так как $$\left(3x-1\right)^2\ge 0$$ при любых $$x$$, то неравенство выполняется, когда

   $$\left(x-1\right)\left(x-5\right)\le 0$$

   Отсюда

   $$1\le x\le 5$$

   Кроме того, при $$3x-1=0$$, то есть при $$x=\frac13$$, левая часть равна нулю, значит это значение тоже подходит.

   Итак,

   $$x\in \left[1;5\right]\cup \left\{\frac13\right\}$$

2. $$\left(x^2-x-2\right)\left(x^2-4x+3\right)\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-x-2=(x+1)(x-2), \qquad x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

   Тогда

   $$\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\ge 0$$

   По знакам множителей получаем:

   $$x\in (-\infty;-1]\cup [1;2]\cup [3;+\infty)$$

3. $$\left(x+7\right)\sqrt{x+x^2-20}>0$$

   Найдём область определения корня:

   $$x+x^2-20\ge 0$$

   $$x^2+x-20=(x+5)(x-4)\ge 0$$

   Отсюда

   $$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 4$$

   Так как корень неотрицателен, для строгого неравенства нужно, чтобы

   $$x+7>0$$

   то есть

   $$x>-7$$

   Пересекаем условия:

   $$(-7;-5)\cup (4;+\infty)$$

4. $$\frac{x-1}{x+1}

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{x-1}{x+1}-x<0$$

   $$\frac{x-1-x(x+1)}{x+1}<0$$

   $$\frac{-x^2-1}{x+1}<0$$

   $$\frac{x^2+1}{x+1}>0$$

   Числитель $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, значит знак дроби определяется знаменателем:

   $$x+1>0$$

   $$x>-1$$

Ответ

1) $$\left[1;5\right]\cup \left\{\frac13\right\}$$; 2) $$(-\infty;-1]\cup [1;2]\cup [3;+\infty)$$; 3) $$(-7;-5)\cup (4;+\infty)$$; 4) $$(-1;+\infty)$$.