Упр.6.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 2log_2 x/log_2 (3-2x)=1; 4) log_x (x+6)=2;
2) (log_5 (x^2-9x+25)-1)/lg (x-3)=0; 5) log_(2x-3) (3x^2-7x+3)=2.
3) log_(x-1) (x^2-5x+7)=1;

Подробный ответ

$$\frac{2\log_2 x}{\log_2(3-2x)}=1$$

Тогда
$$2\log_2 x=\log_2(3-2x)$$
$$\log_2 x^2=\log_2(3-2x)$$
$$x^2=3-2x$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
Проверим область определения:
$$x>0,\quad 3-2x>0,\quad \log_2(3-2x)\ne 0$$
Отсюда $$0<x<\frac32,\quad x\ne 1.$$
Ни одно из найденных значений не подходит.
$$\frac{\log_5(x^2-9x+25)-1}{\lg(x-3)}=0$$

Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю:
$$\log_5(x^2-9x+25)-1=0$$
$$\log_5(x^2-9x+25)=1$$
$$x^2-9x+25=5$$
$$x^2-9x+20=0$$
$$D=9^2-4\cdot 20=1$$
$$x_1=\frac{9-1}{2}=4,\quad x_2=\frac{9+1}{2}=5$$
Область определения:
$$x-3>0,\quad x\ne 4$$
Значит, подходит только $$x=5$$.
$$\log_{x-1}(x^2-5x+7)=1$$

Тогда
$$x^2-5x+7=x-1$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$D=6^2-4\cdot 8=4$$
$$x_1=\frac{6-2}{2}=2,\quad x_2=\frac{6+2}{2}=4$$
Область определения:
$$x-1>0,\quad x-1\ne 1$$
То есть
$$x>1,\quad x\ne 2$$
Оба значения подходят.
$$\log_x(x+6)=2$$

Тогда
$$x+6=x^2$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$
Область определения:
$$x>0,\quad x\ne 1$$
Подходит только $$x=3$$.
$$\log_{2x-3}(3x^2-7x+3)=2$$

Тогда
$$3x^2-7x+3=(2x-3)^2$$
$$3x^2-7x+3=4x^2-12x+9$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
Область определения:
$$2x-3>0,\quad 2x-3\ne 1$$
То есть
$$x>\frac32,\quad x\ne 2$$
Подходит только $$x=3$$.