Упр.6.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3(log_8 (-x))^2-2log_8 (-x)-1=0; 3) 3log_3 x+3log_x 3=10;
2) 2log_7 vx=(log_7 x)^2-6; 4) lg x/(lg x+2)-2/(lg x-1)=1.

1. $$3(\log_8(-x))^2-2\log_8(-x)-1=0.$$

   Положим $$t=\log_8(-x)$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$3t^2-2t-1=0.$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16.$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}.$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac13.$$

   Тогда:

   $$\log_8(-x)=1 \Rightarrow -x=8 \Rightarrow x=-8,$$

   $$\log_8(-x)=-\frac13 \Rightarrow -x=8^{-1/3}=\frac12 \Rightarrow x=-\frac12.$$

2. $$2\log_7\sqrt{x}=(\log_7 x)^2-6.$$

   Так как $$\log_7\sqrt{x}=\frac12\log_7 x,$$ то

   $$\log_7 x=(\log_7 x)^2-6.$$

   Положим $$t=\log_7 x$$. Тогда:

   $$t^2-t-6=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

   $$t_1=-2,\quad t_2=3.$$

   Следовательно,

   $$x=7^{-2}=\frac1{49},\quad x=7^3=343.$$

3. $$3\log_3 x+3\log_x 3=10.$$

   Положим $$t=\log_3 x$$. Тогда $$\log_x 3=\frac1t$$, и получаем:

   $$3t+\frac{3}{t}=10.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$3t^2-10t+3=0.$$

   $$D=100-36=64,$$

   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

   $$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$

   Тогда

   $$x=3^3=27,\quad x=3^{1/3}=\sqrt[3]{3}.$$

4. $$\frac{\lg x}{\lg x+2}-\frac{2}{\lg x-1}=1.$$

   Положим $$t=\lg x$$. Тогда:

   $$\frac{t}{t+2}-\frac{2}{t-1}=1.$$

   ОДЗ: $$t\ne -2,\; t\ne 1.$$

   Умножим на $$ (t+2)(t-1) $$:

   $$t(t-1)-2(t+2)=(t+2)(t-1).$$

   $$t^2-t-2t-4=t^2+t-2.$$

   $$-3t-4=t-2,$$

   $$-4t=2,$$

   $$t=-\frac12.$$

   Значит,

   $$\lg x=-\frac12 \Rightarrow x=10^{-1/2}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$

Ответ

1) $$-8,\; -\frac12$$; 2) $$\frac1{49},\; 343$$; 3) $$\sqrt[3]{3},\; 27$$; 4) $$\frac{\sqrt{10}}{10}$$.