Упр.6.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) $$3(\log_8(-x))^2-2\log_8(-x)-1=0$$;
3) $$3\log_3 x+3\log_x 3=10$$;
2) $$2\log_7\sqrt{x}=(\log_7 x)^2-6$$;
4) $$\frac{\lg x}{\lg x+2}-\frac{2}{\lg x-1}=1$$.

Подробный ответ

$$3(\log_8(-x))^2-2\log_8(-x)-1=0.$$
Положим $$t=\log_8(-x)$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$3t^2-2t-1=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16.$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=-\frac13.$$
Тогда:
$$\log_8(-x)=1 \Rightarrow -x=8 \Rightarrow x=-8,$$
$$\log_8(-x)=-\frac13 \Rightarrow -x=8^{-1/3}=\frac12 \Rightarrow x=-\frac12.$$
$$2\log_7\sqrt{x}=(\log_7 x)^2-6.$$
Так как $$\log_7\sqrt{x}=\frac12\log_7 x,$$ то
$$\log_7 x=(\log_7 x)^2-6.$$
Положим $$t=\log_7 x$$. Тогда:
$$t^2-t-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$
$$t_1=-2,\quad t_2=3.$$
Следовательно,
$$x=7^{-2}=\frac1{49},\quad x=7^3=343.$$
$$3\log_3 x+3\log_x 3=10.$$
Положим $$t=\log_3 x$$. Тогда $$\log_x 3=\frac1t$$, и получаем:
$$3t+\frac{3}{t}=10.$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-10t+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$
$$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$
Тогда
$$x=3^3=27,\quad x=3^{1/3}=\sqrt[3]{3}.$$
$$\frac{\lg x}{\lg x+2}-\frac{2}{\lg x-1}=1.$$
Положим $$t=\lg x$$. Тогда:
$$\frac{t}{t+2}-\frac{2}{t-1}=1.$$
ОДЗ: $$t\ne -2,\; t\ne 1.$$
Умножим на $$(t+2)(t-1)$$:
$$t(t-1)-2(t+2)=(t+2)(t-1).$$
$$t^2-t-2t-4=t^2+t-2.$$
$$-3t-4=t-2,$$
$$-4t=2,$$
$$t=-\frac12.$$
Значит,
$$\lg x=-\frac12 \Rightarrow x=10^{-1/2}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$