Упр.6.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) $$(\log_2 x)^2+3\log_2 x-4=0$$;
4) $$\log_5 x+\log_x 5=2{,}5$$;
2) $$(\log_3 x)^2-\log_3 x-2=0$$;
5) $$2\log_{\frac{1}{6}} x+3v\left(\log_{\frac{1}{6}} x\right)-5=0$$;
3) $$\lg^2 x-2\lg x^2+3=0$$;
6) $$\frac{2}{\lg(x+2)-3}+\frac{4}{\lg(x+2)+1}=1$$.

Подробный ответ

Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$t^2+3t-4=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
$$t_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{-3+5}{2}=1$$
Тогда
$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16}$$
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2^1=2$$
Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
$$t^2-t-2=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$$
$$t_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{1+3}{2}=2$$
Следовательно,
$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=3^{-1}=\frac{1}{3}$$
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9$$
Так как $$\lg x^2=2\lg x$$, получаем:
$$\lg^2 x-2\lg x^2+3=0$$
$$\lg^2 x-4\lg x+3=0$$
Пусть $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$
$$t_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad t_2=\frac{4+2}{2}=3$$
Значит,
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10$$
$$\lg x=3 \Rightarrow x=1000$$
Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда $$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}=\frac{1}{t}$$, и уравнение принимает вид:
$$t+\frac{1}{t}=2{,}5$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$
$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2$$
Тогда
$$\log_5 x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=5^{1/2}=\sqrt{5}$$
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=5^2=25$$
Пусть $$t=\sqrt{\log_{1/6} x}$$. Тогда
$$2\log_{1/6} x+3\sqrt{\log_{1/6} x}-5=0$$
$$2t^2+3t-5=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49$$
$$t_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{5}{2},\qquad t_2=\frac{-3+7}{4}=1$$
Так как $$t=\sqrt{\log_{1/6} x}\ge 0$$, подходит только $$t=1$$.
Тогда
$$\sqrt{\log_{1/6} x}=1 \Rightarrow \log_{1/6} x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{6}$$
Пусть $$t=\lg(x+2)$$. Тогда
$$\frac{2}{t-3}+\frac{4}{t+1}=1$$
Умножим на $$(t-3)(t+1)$$:
$$2(t+1)+4(t-3)=(t-3)(t+1)$$
$$2t+2+4t-12=t^2-2t-3$$
$$t^2-8t+7=0$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$$
$$t_1=\frac{8-6}{2}=1,\qquad t_2=\frac{8+6}{2}=7$$
Тогда
$$\lg(x+2)=1 \Rightarrow x+2=10 \Rightarrow x=8$$
$$\lg(x+2)=7 \Rightarrow x+2=10^7 \Rightarrow x=10^7-2$$