Упр.6.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\log_{3}(2^x-3)+\log_{3}(2^x-1)=2$$;
   2) $$\lg(3^x-4)+\lg(3^x-2)=1$$.

1. $$\log_{\sqrt{3}}(2^x-3)+\log_{\sqrt{3}}(2^x-1)=2$$

   Объединим логарифмы:

   $$\log_{\sqrt{3}}\bigl((2^x-3)(2^x-1)\bigr)=2$$

   Так как $$2=\log_{\sqrt{3}}3,$$ получаем:

   $$\log_{\sqrt{3}}\bigl((2^x-3)(2^x-1)\bigr)=\log_{\sqrt{3}}3$$

   Следовательно,

   $$(2^x-3)(2^x-1)=3$$

   $$2^{2x}-4\cdot 2^x+3=3$$

   $$2^{2x}-4\cdot 2^x=0$$

   $$2^x(2^x-4)=0$$

   Так как $$2^x>0,$$ то

   $$2^x-4=0,\quad 2^x=4,\quad x=2.$$

   Проверим область определения:

   $$2^x-3>0,\quad 2^x-1>0.$$

   При $$x=2$$ имеем $$2^x=4,$$ все условия выполняются.

2. $$\lg(3^x-4)+\lg(3^x-2)=1$$

   Объединим логарифмы:

   $$\lg\bigl((3^x-4)(3^x-2)\bigr)=1$$

   Так как $$1=\lg 10,$$ получаем:

   $$\lg\bigl((3^x-4)(3^x-2)\bigr)=\lg 10$$

   Следовательно,

   $$(3^x-4)(3^x-2)=10$$

   $$3^{2x}-6\cdot 3^x+8=10$$

   $$3^{2x}-6\cdot 3^x-2=0$$

   Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда

   $$t^2-6t-2=0$$

   $$D=36+8=44$$

   $$t=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2}=3\pm\sqrt{11}$$

   Так как $$t=3^x>0,$$ подходит только

   $$3^x=3+\sqrt{11}.$$

   Тогда

   $$x=\log_3(3+\sqrt{11}).$$

   Проверим область определения:

   $$3^x-4>0,\quad 3^x-2>0.$$

   При $$3^x=3+\sqrt{11}$$ оба условия выполняются.

Ответ

1) $$x=2$$; 2) $$x=\log_3(3+\sqrt{11})$$.