Упр.6.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\log_3(5^x+2)+\log_3(5^x-1)=2+\log_3 2$$;
- $$\log_2(2^x+3)+\log_2(5-2^x)=4$$.
1) Рассмотрим уравнение
$$\log_3(5^x+2)+\log_3(5^x-1)=2+\log_3 2.$$
Объединим логарифмы и представим число $$2$$ как $$\log_3 9$$:
$$\log_3\bigl((5^x+2)(5^x-1)\bigr)=\log_3(9\cdot 2).$$
Тогда
$$(5^x+2)(5^x-1)=18.$$
Раскроем скобки:
$$5^{2x}+5^x-2=18,$$
$$5^{2x}+5^x-20=0.$$
Сделаем замену $$t=5^x$$, где $$t>0$$. Получаем:
$$t^2+t-20=0,$$
$$D=1+80=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$
Отсюда
$$t_1=-5,\quad t_2=4.$$
Так как $$t=5^x>0$$, значение $$t=-5$$ не подходит. Значит,
$$5^x=4,$$
$$x=\log_5 4.$$
Проверка области определения:
$$5^x+2>0,\quad 5^x-1>0 \Rightarrow 5^x>1,$$
и найденное значение этому условию удовлетворяет.
2) Рассмотрим уравнение
$$\log_2(2^x+3)+\log_2(5-2^x)=4.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\bigl((2^x+3)(5-2^x)\bigr)=4,$$
$$\log_2\bigl((2^x+3)(5-2^x)\bigr)=\log_2 16.$$
Следовательно,
$$(2^x+3)(5-2^x)=16.$$
Раскроем скобки:
$$5\cdot 2^x-2^{2x}+15-3\cdot 2^x=16,$$
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0.$$
Сделаем замену $$t=2^x$$, где $$t>0$$:
$$t^2-2t+1=0,$$
$$(t-1)^2=0,$$
$$t=1.$$
Тогда
$$2^x=1,$$
$$x=0.$$
Проверка области определения:
$$2^x+3>0,\quad 5-2^x>0 \Rightarrow 2^x<5,$$
при $$x=0$$ это условие выполняется.
Ответ
1) $$x=\log_5 4$$; 2) $$x=0$$.
