Упр.6.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\log_3(5^x+2)+\log_3(5^x-1)=2+\log_3 2$$;
2. $$\log_2(2^x+3)+\log_2(5-2^x)=4$$.

1. $$\log_3(5^x+2)+\log_3(5^x-1)=2+\log_3 2$$

   Область определения:

   $$5^x+2>0,\quad 5^x-1>0$$

   Из второго неравенства получаем:

   $$5^x>1 \Rightarrow x>0$$

   Сложим логарифмы и преобразуем правую часть:

   $$\log_3\bigl((5^x+2)(5^x-1)\bigr)=\log_3 9+\log_3 2=\log_3 18$$

   Тогда

   $$(5^x+2)(5^x-1)=18$$

   Обозначим $$t=5^x$$, где $$t>1$$. Получаем:

   $$(t+2)(t-1)=18$$

   $$t^2+t-2=18$$

   $$t^2+t-20=0$$

   $$(t+5)(t-4)=0$$

   С учётом $$t>1$$ подходит только $$t=4$$. Тогда

   $$5^x=4 \Rightarrow x=\log_5 4$$

2. $$\log_2(2^x+3)+\log_2(5-2^x)=4$$

   Область определения:

   $$2^x+3>0,\quad 5-2^x>0$$

   Из второго неравенства:

   $$2^x<5$$

   Сложим логарифмы:

   $$\log_2\bigl((2^x+3)(5-2^x)\bigr)=4$$

   Тогда

   $$(2^x+3)(5-2^x)=2^4=16$$

   Обозначим $$t=2^x$$, где $$0<t<5$$. Получаем:

   $$(t+3)(5-t)=16$$

   $$5t+15-t^2-3t=16$$

   $$-t^2+2t-1=0$$

   $$t^2-2t+1=0$$

   $$(t-1)^2=0$$

   $$t=1$$

   Тогда

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0$$

Ответ

1) $$x=\log_5 4$$; 2) $$x=0$$.