Упр.6.13 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) log_4 (x-3)+log_4 x=1;
2) log_0,5 (4-x)+log_0,5 (x-1)=-1;
3) lg (x-2)+lg (x-3)=1-lg 5;
4) log_3 (2x-1)+log_3 (x-4)=2;
5) lg v(5x-4)+lg v(x+1)=2+lg 0,18;
6) lg (x-1)+lg (x-3)=lg (1,5x-3);
7) log_2 (5-x)-log_2 (x-1)=1-log_2 (x+2);
8) 2log_5 (x+1)-log_5 (x+9)=log_5 (3x-17).

1. $$\log_4(x-3)+\log_4 x=1$$

   $$\log_4\bigl(x(x-3)\bigr)=\log_4 4$$

   $$x^2-3x=4$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=4$$

   ОДЗ: $$x-3>0,\; x>3$$. Подходит только $$x=4$$.

2. $$\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x-1)=-1$$

   $$\log_{0,5}\bigl((4-x)(x-1)\bigr)=\log_{0,5}2$$

   $$4x-4-x^2+x=2$$

   $$x^2-5x+6=0$$

   $$x_1=2,\quad x_2=3$$

   ОДЗ: $$4-x>0,\; x<4;\quad x-1>0,\; x>1$$. Оба корня подходят.

3. $$\lg(x-2)+\lg(x-3)=1-\lg 5$$

   $$\lg\bigl((x-2)(x-3)\bigr)=\lg 10-\lg 5=\lg 2$$

   $$x^2-5x+6=2$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$x_1=1,\quad x_2=4$$

   ОДЗ: $$x>3$$. Подходит только $$x=4$$.

4. $$\log_3(2x-1)+\log_3(x-4)=2$$

   $$\log_3\bigl((2x-1)(x-4)\bigr)=\log_3 9$$

   $$2x^2-9x-5=0$$

   $$x_1=-0,5,\quad x_2=5$$

   ОДЗ: $$2x-1>0,\; x>0,5;\quad x-4>0,\; x>4$$. Подходит только $$x=5$$.

5. $$\lg\sqrt{5x-4}+\lg\sqrt{x+1}=2+\lg 0,18$$

   $$\lg\sqrt{(5x-4)(x+1)}=\lg(100\cdot 0,18)$$

   $$\sqrt{5x^2+x-4}=18$$

   $$5x^2+x-4=324$$

   $$5x^2+x-328=0$$

   $$x_1=-8,2,\quad x_2=8$$

   ОДЗ: $$5x-4>0,\; x>0,8;\quad x+1>0,\; x>-1$$. Подходит только $$x=8$$.

6. $$\lg(x-1)+\lg(x-3)=\lg(1,5x-3)$$

   $$\lg\bigl((x-1)(x-3)\bigr)=\lg(1,5x-3)$$

   $$x^2-4x+3=1,5x-3$$

   $$x^2-5,5x+6=0$$

   $$2x^2-11x+12=0$$

   $$x_1=1,5,\quad x_2=4$$

   ОДЗ: $$x-1>0,\; x>1;\quad x-3>0,\; x>3$$. Подходит только $$x=4$$.

7. $$\log_2(5-x)-\log_2(x-1)=1-\log_2(x+2)$$

   $$\log_2\left(\frac{5-x}{x-1}\right)=\log_2\left(\frac{2}{x+2}\right)$$

   $$\frac{5-x}{x-1}=\frac{2}{x+2}$$

   $$\left(5-x\right)\left(x+2\right)=2(x-1)$$

   $$x^2-x-12=0$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=4$$

   ОДЗ: $$5-x>0,\; x<5;\quad x-1>0,\; x>1;\quad x+2>0,\; x>-2$$. Подходит только $$x=4$$.

8. $$2\log_5(x+1)-\log_5(x+9)=\log_5(3x-17)$$

   $$\log_5(x+1)^2=\log_5\bigl((3x-17)(x+9)\bigr)$$

   $$x^2+2x+1=3x^2+10x-153$$

   $$2x^2+8x-154=0$$

   $$x^2+4x-77=0$$

   $$x_1=-11,\quad x_2=7$$

   ОДЗ: $$x+1>0,\; x>-1;\quad 3x-17>0,\; x>\frac{17}{3}$$. Подходит только $$x=7$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$2,\,3$$; 3) $$4$$; 4) $$5$$; 5) $$8$$; 6) $$4$$; 7) $$4$$; 8) $$7$$.