Упр.6.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x+3)-\log_{0,1}(2x-3)=0$$;
   2) $$\log_{3}(2^{2x}+2^x)=2\log_{9}12$$;
   3) $$x-\lg 5=x\lg 5+2\lg 2-\lg(1+2^x)$$.

1. $$\frac12\log_{0,1}(2x+3)-\log_{0,1}(2x-3)=0$$
   $$\log_{0,1}(2x+3)-2\log_{0,1}(2x-3)=0$$
   $$\log_{0,1}(2x+3)=\log_{0,1}(2x-3)^2$$
   $$2x+3=(2x-3)^2$$
   $$2x+3=4x^2-12x+9$$
   $$4x^2-14x+6=0$$
   $$2x^2-7x+3=0$$
   $$D=49-24=25$$
   $$x_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{7+5}{4}=3$$
   Область определения:
   $$2x-3>0,\quad x>\frac32$$
   Подходит только $$x=3$$.
2. $$\log_3(2^{2x}+2^x)=2\log_9 12$$
   $$2\log_9 12=\log_3 12$$
   Тогда
   $$\log_3(2^{2x}+2^x)=\log_3 12$$
   $$2^{2x}+2^x=12$$
   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$t^2+t-12=0$$
   $$(t-3)(t+4)=0$$
   $$t=3 \text{ или } t=-4$$
   Так как $$t>0$$, получаем
   $$2^x=3$$
   $$x=\log_2 3$$
3. $$x-\lg 5=x\lg 5+2\lg 2-\lg(1+2^x)$$
   $$\lg\frac{10^x}{5}=\lg\frac{5^x\cdot 4}{1+2^x}$$
   $$\frac{10^x}{5}=\frac{5^x\cdot 4}{1+2^x}$$
   $$10^x(1+2^x)=20\cdot 5^x$$
   $$2^x+4^x=20$$
   Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и
   $$t^2+t-20=0$$
   $$(t-4)(t+5)=0$$
   $$t=4 \text{ или } t=-5$$
   Так как $$t>0$$, получаем
   $$2^x=4$$
   $$x=2$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$\log_2 3$$; 3) $$2$$.