Упр.6.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\frac{1}{2}\log_6(5x+1)=\log_6(x-1)$$; 2) $$\log_5(25^x-2\cdot5^x)=2\log_{25}15$$; 3) $$\log_{\sqrt{5}}(16^x-6)=2+\log_{\sqrt{5}}(4^x-2)$$; 4) $$x\lg 3-1=2\lg 3-\lg(3^x+1)$$.

1. $$\frac12\log_6(5x+1)=\log_6(x-1)$$

   Умножим обе части на $$2$$:
   $$\log_6(5x+1)=2\log_6(x-1)=\log_6\bigl((x-1)^2\bigr).$$

   Тогда
   $$5x+1=(x-1)^2,$$
   $$5x+1=x^2-2x+1,$$
   $$x^2-7x=0,$$
   $$x(x-7)=0.$$

   С учётом области определения $$x-1>0$$, то есть $$x>1$$, подходит только
   $$x=7.$$

2. $$\log_5(25^x-2\cdot 5^x)=2\log_{25}15$$

   Так как $$25=5^2$$, то
   $$2\log_{25}15=\log_5 15.$$
   Тогда
   $$\log_5(25^x-2\cdot 5^x)=\log_5 15,$$
   $$25^x-2\cdot 5^x=15.$$

   Обозначим $$t=5^x$$, тогда $$25^x=5^{2x}=t^2$$. Получаем:
   $$t^2-2t-15=0,$$
   $$\left(t-5\right)\left(t+3\right)=0.$$

   Так как $$t=5^x>0$$, то $$t=5$$. Значит,
   $$5^x=5,\quad x=1.$$

3. $$\log_{\sqrt5}(16^x-6)=2+\log_{\sqrt5}(4^x-2)$$

   Запишем $$2$$ как логарифм:
   $$2=\log_{\sqrt5}5.$$
   Тогда
   $$\log_{\sqrt5}(16^x-6)=\log_{\sqrt5}\bigl(5(4^x-2)\bigr).$$

   Следовательно,
   $$16^x-6=5(4^x-2).$$
   Так как $$16^x=4^{2x}$$, получаем:
   $$4^{2x}-6=5\cdot 4^x-10,$$
   $$4^{2x}-5\cdot 4^x+4=0.$$

   Обозначим $$t=4^x$$. Тогда
   $$t^2-5t+4=0,$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0.$$
   Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$.

   Тогда
   $$4^x=1 \Rightarrow x=0,$$
   $$4^x=4 \Rightarrow x=1.$$

   Область определения:
   $$16^x-6>0,\quad 4^x-2>0,$$
   откуда $$x>\frac12.$$ Поэтому подходит только $$x=1.$$

4. $$x\lg 3-1=2\lg 3-\lg(3^x+1)$$

   Перенесём логарифмы в одну часть:
   $$x\lg 3+\lg(3^x+1)=2\lg 3+1.$$
   Так как $$1=\lg 10$$, а $$2\lg 3=\lg 9$$, то
   $$x\lg 3+\lg(3^x+1)=\lg 90.$$

   Тогда
   $$\lg\bigl(3^x(3^x+1)\bigr)=\lg 90,$$
   $$3^x(3^x+1)=90.$$

   Обозначим $$t=3^x$$. Получаем:
   $$t^2+t-90=0,$$
   $$\left(t-9\right)\left(t+10\right)=0.$$

   Так как $$t=3^x>0$$, то $$t=9$$. Значит,
   $$3^x=9,\quad x=2.$$

Ответ

1) $$7$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$; 4) $$2$$.