Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке: 1) $$y=\log_2 x$$, $$\left[\frac{1}{4};\,8\right]$$; 3) $$y=\log_{\frac{2}{3}} x$$, $$\left[\frac{4}{9};\,\frac{81}{16}\right]$$; 2) $$y=\log_{\frac{1}{2}} x$$, $$\left[\frac{1}{16};\,8\right]$$.

1. $$y=\log_2 x,\quad x\in\left[\frac14;8\right]$$

   Так как $$2>1,$$ функция возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой:

   $$y_{\min}=\log_2\frac14=-2,$$

   $$y_{\max}=\log_2 8=3.$$

2. $$y=\log_{\frac12} x,\quad x\in\left[\frac1{16};8\right]$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ функция убывает на всей области определения. Поэтому наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой:

   $$y_{\max}=\log_{\frac12}\frac1{16}=4,$$

   $$y_{\min}=\log_{\frac12}8=-3.$$

3. $$y=\log_{\frac23} x,\quad x\in\left[\frac49;\frac{81}{16}\right]$$

   Так как $$0<\frac23<1,$$ функция убывает. Следовательно,

   $$y_{\max}=\log_{\frac23}\frac49=2,$$

   $$y_{\min}=\log_{\frac23}\frac{81}{16}=-4.$$

Ответ

1) $$3;\,-2$$

2) $$4;\,-3$$

3) $$2;\,-4$$