Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) y=log_2 x, [1/4; 8]; 3) y=log_(2/3) x, [4/9; 81/16].
2) y=log_(1/2) x, [1/16; 8];

Подробный ответ

$$y=\log_2 x,\quad \left[\frac14;8\right]$$
Так как основание $$2>1,$$ функция возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=\frac14,$$ а наибольшее — при $$x=8.$$
$$y_{\min}=\log_2 \frac14=\log_2 2^{-2}=-2,$$
$$y_{\max}=\log_2 8=\log_2 2^3=3.$$
$$y=\log_{\frac12} x,\quad \left[\frac1{16};8\right]$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ функция убывает на всей области определения. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=\frac1{16},$$ а наименьшее — при $$x=8.$$
$$y_{\max}=\log_{\frac12}\frac1{16}=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^4=4,$$
$$y_{\min}=\log_{\frac12}8=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-3}=-3.$$
$$y=\log_{\frac23} x,\quad \left[\frac49;\frac{81}{16}\right]$$
Так как $$0<\frac23<1,$$ функция убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=\frac49,$$ а наименьшее — при $$x=\frac{81}{16}.$$
$$y_{\max}=\log_{\frac23}\frac49=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^2=2,$$
$$y_{\min}=\log_{\frac23}\frac{81}{16}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^{-4}=-4.$$