Упр.5.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте на чётность функцию $$y=\lg\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$$.

Рассмотрим функцию $$y=\lg\left(\sqrt{x^2+1}-x\right).$$

Найдём область определения:

$$\sqrt{x^2+1}-x>0.$$

Так как $$\sqrt{x^2+1}>|x|,$$ то

$$\sqrt{x^2+1}-x>0$$
при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

Значит, $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=\lg\left(\sqrt{(-x)^2+1}-(-x)\right)=\lg\left(\sqrt{x^2+1}+x\right).$$

Преобразуем выражение:

$$\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=(x^2+1)-x^2=1,$$

откуда

$$\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}.$$

Тогда

$$y(-x)=\lg\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\right)=-\lg\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная.

Ответ

Нечётная.