Упр.5.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 5.39. Решите неравенство 1/(x-2)-1/x?2/(x+2).

ОДЗ: $$x \ne -2,\; x \ne 0,\; x \ne 2.$$

Приведём неравенство к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}\le \frac{2}{x+2}$$

$$\frac{x-(x-2)}{x(x-2)}\le \frac{2}{x+2}$$

$$\frac{2}{x(x-2)}\le \frac{2}{x+2}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{2}{x(x-2)}-\frac{2}{x+2}\le 0$$

$$\frac{2(x+2)-2x(x-2)}{x(x-2)(x+2)}\le 0$$

$$\frac{-2(x^2-3x-2)}{x(x-2)(x+2)}\le 0$$

$$\frac{x^2-3x-2}{x(x-2)(x+2)}\ge 0.$$

Найдём нули числителя:

$$x^2-3x-2=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9+8=17,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}.$$

Критические точки:

$$-2,\; 0,\; \frac{3-\sqrt{17}}{2},\; 2,\; \frac{3+\sqrt{17}}{2}.$$

Исследуя знак дроби на промежутках, получаем:

$$x\in \left(-2;\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right]\cup(0;2)\cup\left[\frac{3+\sqrt{17}}{2};+\infty\right).$$

Ответ

$$\left(-2;\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right]\cup(0;2)\cup\left[\frac{3+\sqrt{17}}{2};+\infty\right).$$