Упр.5.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

v((a-2v(a-1))/(a+2v(a-1)))+v((a+2v(a-1))/(a-2v(a-1)))-4/v(a^2-4a+4).

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}} +\sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}} -\frac{4}{\sqrt{a^2-4a+4}} $$

Заметим, что

$$ a^2-4a+4=(a-2)^2,\qquad a\pm 2\sqrt{a-1}=(\sqrt{a-1}\pm 1)^2. $$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}} =\sqrt{\frac{(\sqrt{a-1}-1)^2}{(\sqrt{a-1}+1)^2}} =\frac{|\sqrt{a-1}-1|}{\sqrt{a-1}+1}, $$
$$ \sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}} =\frac{\sqrt{a-1}+1}{|\sqrt{a-1}-1|}, $$
$$ \frac{4}{\sqrt{a^2-4a+4}}=\frac{4}{|a-2|}. $$

Удобнее сразу использовать тождество

$$ \sqrt{\frac{a-2\sqrt{a-1}}{a+2\sqrt{a-1}}} =\frac{a-2\sqrt{a-1}}{|a-2|}, \qquad \sqrt{\frac{a+2\sqrt{a-1}}{a-2\sqrt{a-1}}} =\frac{a+2\sqrt{a-1}}{|a-2|}. $$

Тогда исходное выражение равно

$$ \frac{a-2\sqrt{a-1}}{|a-2|} +\frac{a+2\sqrt{a-1}}{|a-2|} -\frac{4}{|a-2|} = \frac{2a-4}{|a-2|} = \frac{2(a-2)}{|a-2|}. $$

Теперь учитываем знак выражения $a-2$.

Если $$a>2,$$ то $$|a-2|=a-2,$$ значит
$$ \frac{2(a-2)}{|a-2|}=2. $$

Если $$1\le a<2,$$ то $$|a-2|=2-a,$$ значит
$$ \frac{2(a-2)}{|a-2|}=-2. $$