Упр.5.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

1. $$y=\left|\log_3 x\right|$$;
2. $$y=\log_3\left|x\right|$$;
3. $$y=\frac{\log_2 x}{v(\log_2 x)^2}$$.

1. $$y=|\log_3 x|$$

   Так как модуль меняет знак отрицательных значений на противоположный, получаем

   $$y= \begin{cases} \log_3 x, & x\ge 1,\\ -\log_3 x, & 0<x<1. \end{cases}$$

   График функции состоит из части графика $$y=\log_3 x$$ при $$x\ge 1$$ и отражённой относительно оси $$Ox$$ части при $$0<x<1$$.

2. $$y=\log_3 |x|$$

   Здесь удобно рассмотреть знак аргумента:

   $$y= \begin{cases} \log_3 x, & x>0,\\ \log_3(-x), & x<0. \end{cases}$$

   График получается из графика $$y=\log_3 x$$ отражением относительно оси $$Oy$$.

3. $$y=\dfrac{\log_2 x}{\sqrt{(\log_2 x)^2}}=\dfrac{\log_2 x}{|\log_2 x|}$$

   Область определения: $$x>0,\ x\ne 1$$, так как при $$x=1$$ знаменатель равен нулю.

   Рассмотрим знак $$\log_2 x$$:

   $$y= \begin{cases} 1, & x>1,\\ -1, & 0<x<1. \end{cases}$$

   Значит, график состоит из двух горизонтальных лучей: $$y=1$$ при $$x>1$$ и $$y=-1$$ при $$0<x<1$$, с выколотой точкой при $$x=1$$.

Ответ

1) $$y=|\log_3 x|$$:
$$y= \begin{cases} \log_3 x, & x\ge 1,\\ -\log_3 x, & 0<x<1. \end{cases}$$

2) $$y=\log_3|x|$$:
$$y= \begin{cases} \log_3 x, & x>0,\\ \log_3(-x), & x<0. \end{cases}$$

3) $$y=\dfrac{\log_2 x}{\sqrt{(\log_2 x)^2}}$$:
$$y= \begin{cases} 1, & x>1,\\ -1, & 0<x<1. \end{cases}$$